Analysis Beispiele

$f (x) = e^{x} + 100 e + 8 x^{4} + 49$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} + 100 e + 8 x^{4} + 49$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [100 e] + \frac{d}{d x} [8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [100 e] + \frac{d}{d x} [8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [100 e] + \frac{d}{d x} [8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$

Schritt 1.3

Da $100 e$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $100 e$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{x} + 0 + \frac{d}{d x} [8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [8 x^{4}]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x^{4}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$e^{x} + 0 + 8 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$e^{x} + 0 + 8 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [49]$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$e^{x} + 0 + 32 x^{3} + \frac{d}{d x} [49]$

Schritt 1.5

Da $49$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $49$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{x} + 0 + 32 x^{3} + 0$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Vereine die Terme

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Schritt 1.6.1.1

Addiere $e^{x}$ und $0$ .

$e^{x} + 32 x^{3} + 0$

Schritt 1.6.1.2

Addiere $e^{x} + 32 x^{3}$ und $0$ .

$e^{x} + 32 x^{3}$

Schritt 1.6.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = 32 x^{3} + e^{x}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $32 x^{3} + e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [32 x^{3}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [32 x^{3}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [32 x^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $32$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $32 x^{3}$ nach $x$ gleich $32 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$32 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$32 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $32$ .

$96 x^{2} + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 96 x^{2} + e^{x}$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $96 x^{2} + e^{x}$ .

$96 x^{2} + e^{x}$