Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4 x^{2} + 1}}{x - 2}$

Schritt 1

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $\sqrt{x^{2}} = x$ ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}{\frac{x}{x} + \frac{- 2}{x}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}{1 - \frac{2}{x}}$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}{1 - \frac{2}{x}}$

Schritt 2.2.2

Dividiere $4$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4 + \frac{1}{x^{2}}}}{1 - \frac{2}{x}}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{4 + \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{2}{x}}$

Schritt 2.4

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{2}{x}}$

Schritt 2.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 4 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{2}{x}}$

Schritt 2.6

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{\sqrt{4 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{2}{x}}$

Schritt 3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{\sqrt{4 + 0}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{2}{x}}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{\sqrt{4 + 0}}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{\sqrt{4 + 0}}{1 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}$

Schritt 4.3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sqrt{4 + 0}}{1 - 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Schritt 5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{\sqrt{4 + 0}}{1 - 2 \cdot 0}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{\sqrt{4}}{1 - 2 \cdot 0}$

Schritt 6.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2^{2}}}{1 - 2 \cdot 0}$

Schritt 6.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{2}{1 - 2 \cdot 0}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$\frac{2}{1 + 0}$

Schritt 6.2.2

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{2}{1}$

Schritt 6.3

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2$