Analysis Beispiele

$\log (x)$

Schritt 1

Schreibe $\log (x)$ als Funktion.

$f (x) = \log (x)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \log (x) d x$

Schritt 4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \log (x)$ und $d v = 1$ .

$\log (x) x - \int x \frac{1}{x \ln (10)} d x$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x \ln (10)}$ .

$\log (x) x - \int \frac{x}{x \ln (10)} d x$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log (x) x - \int \frac{x}{x \ln (10)} d x$

Schritt 5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\log (x) x - \int \frac{1}{\ln (10)} d x$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$\log (x) x - (\frac{1}{\ln (10)} x + C)$

Schritt 7

Schreibe $\log (x) x - (\frac{1}{\ln (10)} x + C)$ als $\log (x) x - \frac{1}{\ln (10)} x + C$ um.

$\log (x) x - \frac{1}{\ln (10)} x + C$

Schritt 8

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \log (x)$ .

$F (x) =$ $\log (x) x - \frac{1}{\ln (10)} x + C$