Analysis Beispiele

$\frac{\sin (x)}{12 + \cos (x)}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{\sin (x)}{12 + \cos (x)}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{\sin (x)}{12 + \cos (x)}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{\sin (x)}{12 + \cos (x)} d x$

Schritt 4

Sei $u = 12 + \cos (x)$ . Dann ist $d u = - \sin (x) d x$ , folglich $- d u = \sin (x) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = 12 + \cos (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $12 + \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [12 + \cos (x)]$

Schritt 4.1.2

Differenziere.

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Schritt 4.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $12 + \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 4.1.2.2

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 4.1.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$0 - \sin (x)$

Schritt 4.1.4

Subtrahiere $\sin (x)$ von $0$ .

$- \sin (x)$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{- 1}{u} d u$

Schritt 5

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\int - \frac{1}{u} d u$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 7

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

$- \ln (| u |) + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $12 + \cos (x)$ .

$- \ln (| 12 + \cos (x) |) + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{\sin (x)}{12 + \cos (x)}$ .

$F (x) =$ $- \ln (| 12 + \cos (x) |) + C$