Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} - 3 x - 4}{x^{2} + 2 x - 3}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 1} x^{2} - 3 x - 4}{lim_{x \to - 1} x^{2} + 2 x - 3}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 1} x^{2} - lim_{x \to - 1} 3 x - lim_{x \to - 1} 4}{lim_{x \to - 1} x^{2} + 2 x - 3}$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - lim_{x \to - 1} 3 x - lim_{x \to - 1} 4}{lim_{x \to - 1} x^{2} + 2 x - 3}$

Schritt 4

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 3 lim_{x \to - 1} x - lim_{x \to - 1} 4}{lim_{x \to - 1} x^{2} + 2 x - 3}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 1$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 3 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to - 1} x^{2} + 2 x - 3}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 3 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 3}$

Schritt 7

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 3 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 4}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 3}$

Schritt 8

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 3 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 4}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x - lim_{x \to - 1} 3}$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 1$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 3 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 4}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 3}$

Schritt 10

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 1$ für alle $x$ .

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Schritt 10.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} - 3 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 4}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 3}$

Schritt 10.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 - 1 \cdot 4}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 3}$

Schritt 10.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 - 1 \cdot 4}{{(- 1)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 3}$

Schritt 10.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 - 1 \cdot 4}{{(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 3}$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1 - 3 \cdot - 1 - 1 \cdot 4}{{(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 3}$

Schritt 11.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$\frac{1 + 3 - 1 \cdot 4}{{(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 3}$

Schritt 11.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{1 + 3 - 4}{{(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 3}$

Schritt 11.1.4

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{4 - 4}{{(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 3}$

Schritt 11.1.5

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 3}$

Schritt 11.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{0}{1 + 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 3}$

Schritt 11.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{0}{1 - 2 - 1 \cdot 3}$

Schritt 11.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{0}{1 - 2 - 3}$

Schritt 11.2.4

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{0}{- 1 - 3}$

Schritt 11.2.5

Subtrahiere $3$ von $- 1$ .

$\frac{0}{- 4}$

Schritt 11.3

Dividiere $0$ durch $- 4$ .

$0$