Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x - 28 x^{3}}{5 x^{2} - 14 x^{3} - 9}$

Schritt 1

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{3}$ ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x}{x^{3}} + \frac{- 28 x^{3}}{x^{3}}}{\frac{5 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 14 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 9}{x^{3}}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{3}$ .

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $5 x$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 5}{x^{3}} + \frac{- 28 x^{3}}{x^{3}}}{\frac{5 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 14 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 9}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 5}{x \cdot x^{2}} + \frac{- 28 x^{3}}{x^{3}}}{\frac{5 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 14 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 9}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 5}{x \cdot x^{2}} + \frac{- 28 x^{3}}{x^{3}}}{\frac{5 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 14 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 9}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{- 28 x^{3}}{x^{3}}}{\frac{5 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 14 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 9}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{- 28 x^{3}}{x^{3}}}{\frac{5 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 14 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 9}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.2.2

Dividiere $- 28$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} - 28}{\frac{5 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 14 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 9}{x^{3}}}$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{3}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $5 x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} - 28}{\frac{x^{2} \cdot 5}{x^{3}} + \frac{- 14 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 9}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} - 28}{\frac{x^{2} \cdot 5}{x^{2} x} + \frac{- 14 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 9}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} - 28}{\frac{x^{2} \cdot 5}{x^{2} x} + \frac{- 14 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 9}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} - 28}{\frac{5}{x} + \frac{- 14 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 9}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} - 28}{\frac{5}{x} + \frac{- 14 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 9}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.2.2

Dividiere $- 14$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} - 28}{\frac{5}{x} - 14 + \frac{- 9}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} - 28}{\frac{5}{x} - 14 - \frac{9}{x^{3}}}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} - 28}{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} - 14 - \frac{9}{x^{3}}}$

Schritt 2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} 28}{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} - 14 - \frac{9}{x^{3}}}$

Schritt 2.5

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} 28}{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} - 14 - \frac{9}{x^{3}}}$

Schritt 3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} 28}{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} - 14 - \frac{9}{x^{3}}}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $28$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{5 \cdot 0 - 1 \cdot 28}{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} - 14 - \frac{9}{x^{3}}}$

Schritt 4.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{5 \cdot 0 - 1 \cdot 28}{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} - lim_{x \to \infty} 14 - lim_{x \to \infty} \frac{9}{x^{3}}}$

Schritt 4.3

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 \cdot 0 - 1 \cdot 28}{5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} 14 - lim_{x \to \infty} \frac{9}{x^{3}}}$

Schritt 5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 1 \cdot 28}{5 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} 14 - lim_{x \to \infty} \frac{9}{x^{3}}}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $14$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{5 \cdot 0 - 1 \cdot 28}{5 \cdot 0 - 1 \cdot 14 - lim_{x \to \infty} \frac{9}{x^{3}}}$

Schritt 6.2

Ziehe den Term $9$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 \cdot 0 - 1 \cdot 28}{5 \cdot 0 - 1 \cdot 14 - 9 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 7

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{3}}$ $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 1 \cdot 28}{5 \cdot 0 - 1 \cdot 14 - 9 \cdot 0}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 28}{5 \cdot 0 - 1 \cdot 14 - 9 \cdot 0}$

Schritt 8.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $28$ .

$\frac{0 - 28}{5 \cdot 0 - 1 \cdot 14 - 9 \cdot 0}$

Schritt 8.1.3

Subtrahiere $28$ von $0$ .

$\frac{- 28}{5 \cdot 0 - 1 \cdot 14 - 9 \cdot 0}$

Schritt 8.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{- 28}{0 - 1 \cdot 14 - 9 \cdot 0}$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $14$ .

$\frac{- 28}{0 - 14 - 9 \cdot 0}$

Schritt 8.2.3

Mutltipliziere $- 9$ mit $0$ .

$\frac{- 28}{0 - 14 + 0}$

Schritt 8.2.4

Addiere $0 - 14$ und $0$ .

$\frac{- 28}{0 - 14}$

Schritt 8.2.5

Subtrahiere $14$ von $0$ .

$\frac{- 28}{- 14}$

Schritt 8.3

Dividiere $- 28$ durch $- 14$ .

$2$