Analysis Beispiele

$\frac{x}{\sqrt{2 x + 1}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{x}{\sqrt{2 x + 1}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 x + 1}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{x}{\sqrt{2 x + 1}} d x$

Schritt 4

Sei $u = 2 x + 1$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = 2 x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Schritt 4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 4.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{\frac{u}{2} - \frac{1}{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{u}{2} - \frac{1}{2}}{\sqrt{u}}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{u}{2} - \frac{1}{2}}{\sqrt{u}} \frac{1}{2} d u$

Schritt 5.2

Kombinieren.

$\int \frac{2 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \frac{2 \frac{u}{2} + 2 (- \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{2 \frac{u}{2} + 2 (- \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{u + 2 (- \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\int \frac{u - 2 (\frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 5.6

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u + \frac{- 2}{2}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 5.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 5.7.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\int \frac{u + \frac{2 \cdot - 1}{2}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 5.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\int \frac{u + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 5.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{u + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 5.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{u + \frac{- 1}{1}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 5.7.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\int \frac{u - 1}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 5.8

Mutltipliziere $\frac{u - 1}{2 \sqrt{u}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u - 1}{2 \sqrt{u} \cdot 2} d u$

Schritt 5.9

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\int \frac{u - 1}{4 \sqrt{u}} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{u - 1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 7

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{4} \int \frac{u - 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 7.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int (u - 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 7.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 7.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int (u - 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 7.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int (u - 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 7.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{4} \int (u - 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 8

Multipliziere $(u - 1) u^{- \frac{1}{2}}$ aus.

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Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{4} \int u \cdot u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 8.2

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} \int u^{1} u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 8.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{4} \int u^{1 - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 8.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 8.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{2 - 1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 8.6

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 9

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{4} (\int u^{\frac{1}{2}} d u + \int - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C + \int - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Schritt 11

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Schritt 12

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - (2 u^{\frac{1}{2}} + C))$

Schritt 13

Vereinfache.

$\frac{1}{4} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 u^{\frac{1}{2}}) + C$

Schritt 14

Ersetze alle $u$ durch $2 x + 1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}) + C$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Um $- 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Schritt 15.2

Kombiniere $- 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3}) + C$

Schritt 15.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3} + C$

Schritt 15.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.4.1

Faktorisiere $2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ aus $2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3$ heraus.

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Schritt 15.4.1.1

Bewege ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 3 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{3} + C$

Schritt 15.4.1.2

Faktorisiere $2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ aus $2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}}) - 2 \cdot 3 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{3} + C$

Schritt 15.4.1.3

Faktorisiere $2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ aus $- 2 \cdot 3 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 3)}{3} + C$

Schritt 15.4.1.4

Faktorisiere $2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ aus $2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 3)$ heraus.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1 \cdot 3)}{3} + C$

Schritt 15.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 3)}{3} + C$

Schritt 15.4.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.4.3.1

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x + 1)}^{1} - 3)}{3} + C$

Schritt 15.4.3.2

Vereinfache.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 1 - 3)}{3} + C$

Schritt 15.4.4

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 2)}{3} + C$

Schritt 15.4.5

Faktorisiere $2$ aus $2 x - 2$ heraus.

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Schritt 15.4.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 (x) - 2)}{3} + C$

Schritt 15.4.5.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 (x) + 2 (- 1))}{3} + C$

Schritt 15.4.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x) + 2 (- 1)$ heraus.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 (x - 1))}{3} + C$

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (x - 1)}{3} + C$

Schritt 15.4.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1)}{3} + C$

Schritt 15.5

Kombinieren.

$\frac{1 (4 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1))}{4 \cdot 3} + C$

Schritt 15.6

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (4 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1))}{4 \cdot 3} + C$

Schritt 15.7

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 ({(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1))}{3} + C$

Schritt 15.8

Mutltipliziere ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1)}{3} + C$

Schritt 16

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 x + 1}}$ .

$F (x) =$ $\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1)}{3} + C$