Analysis Beispiele

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 x \sqrt{x} d x$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 x \cdot x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 1.2

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 (x^{\frac{1}{2}} x) d x$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) d x$

Schritt 1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 x^{\frac{1}{2} + 1} d x$

Schritt 1.2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} d x$

Schritt 1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 x^{\frac{1 + 2}{2}} d x$

Schritt 1.2.5

Addiere $1$ und $2$ .

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{4}{x^{3}} d x + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$4 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$4 \int x^{- 3} d x + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 6

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Schritt 6.1

Kombiniere $x^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 6.2

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 7

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 5$ aus dem Integral.

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 5 \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 5 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

$\frac{- 2}{x^{2}} - 5 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{x^{2}} - 5 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$

Schritt 9.2.2

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $x^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{2}{x^{2}} - 5 \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Schritt 9.2.3

Kombiniere $- 5$ und $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ .

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{- 5 (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} + C$

Schritt 9.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{- 10 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Schritt 9.2.5

Faktorisiere $5$ aus $- 10 x^{\frac{5}{2}}$ heraus.

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{5 (- 2 x^{\frac{5}{2}})}{5} + C$

Schritt 9.2.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.6.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{5 (- 2 x^{\frac{5}{2}})}{5 (1)} + C$

Schritt 9.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{5 (- 2 x^{\frac{5}{2}})}{5 \cdot 1} + C$

Schritt 9.2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{- 2 x^{\frac{5}{2}}}{1} + C$

Schritt 9.2.6.4

Dividiere $- 2 x^{\frac{5}{2}}$ durch $1$ .

$- \frac{2}{x^{2}} - 2 x^{\frac{5}{2}} + C$