Analysis Beispiele

$lim_{x \to 4} \frac{2 \sqrt{x} - 2}{2 x - 4}$

Schritt 1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 \sqrt{x} - 2$ und $2 x - 4$ .

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Schritt 1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{x}$ heraus.

$lim_{x \to 4} \frac{2 (\sqrt{x}) - 2}{2 x - 4}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$lim_{x \to 4} \frac{2 (\sqrt{x}) + 2 \cdot - 1}{2 x - 4}$

Schritt 1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (\sqrt{x}) + 2 (- 1)$ heraus.

$lim_{x \to 4} \frac{2 (\sqrt{x} - 1)}{2 x - 4}$

Schritt 1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$lim_{x \to 4} \frac{2 (\sqrt{x} - 1)}{2 (x) - 4}$

Schritt 1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$lim_{x \to 4} \frac{2 (\sqrt{x} - 1)}{2 x + 2 \cdot - 2}$

Schritt 1.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot - 2$ heraus.

$lim_{x \to 4} \frac{2 (\sqrt{x} - 1)}{2 (x - 2)}$

Schritt 1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 4} \frac{2 (\sqrt{x} - 1)}{2 (x - 2)}$

Schritt 1.4.5

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 2}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 4} \sqrt{x} - 1}{lim_{x \to 4} x - 2}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 1}{lim_{x \to 4} x - 2}$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 4} x} - lim_{x \to 4} 1}{lim_{x \to 4} x - 2}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $4$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 4} x - 2}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 2}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $4$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 2}$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $4$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{4} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 2}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{4} - 1 \cdot 1}{4 - 1 \cdot 2}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 1}{4 - 1 \cdot 2}$

Schritt 9.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{2 - 1 \cdot 1}{4 - 1 \cdot 2}$

Schritt 9.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 - 1}{4 - 1 \cdot 2}$

Schritt 9.1.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{1}{4 - 1 \cdot 2}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{4 - 2}$

Schritt 9.2.2

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{2}$

Dezimalform:

$0.5$