Analysis Beispiele

${(x + 2)}^{5} {(x - 3)}^{4}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = {(x + 2)}^{5}$ und $g (x) = {(x - 3)}^{4}$ .

${(x + 2)}^{5} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{4}] + {(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = x - 3$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x - 3$ .

${(x + 2)}^{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [x - 3]) + {(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

${(x + 2)}^{5} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [x - 3]) + {(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x - 3$ .

${(x + 2)}^{5} (4 {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 3]) + {(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von ${(x + 2)}^{5}$ .

$4 \cdot {(x + 2)}^{5} {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 3] + {(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$4 {(x + 2)}^{5} {(x - 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 {(x + 2)}^{5} {(x - 3)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]$

Schritt 3.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 {(x + 2)}^{5} {(x - 3)}^{3} (1 + 0) + {(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]$

Schritt 3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$4 {(x + 2)}^{5} {(x - 3)}^{3} \cdot 1 + {(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 {(x + 2)}^{5} {(x - 3)}^{3} + {(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{5}$ und $g (x) = x + 2$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x + 2$ .

$4 {(x + 2)}^{5} {(x - 3)}^{3} + {(x - 3)}^{4} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [x + 2])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$4 {(x + 2)}^{5} {(x - 3)}^{3} + {(x - 3)}^{4} (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x + 2$ .

$4 {(x + 2)}^{5} {(x - 3)}^{3} + {(x - 3)}^{4} (5 {(x + 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Bringe $5$ auf die linke Seite von ${(x - 3)}^{4}$ .

$4 {(x + 2)}^{5} {(x - 3)}^{3} + 5 \cdot {(x - 3)}^{4} {(x + 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Schritt 5.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$4 {(x + 2)}^{5} {(x - 3)}^{3} + 5 {(x - 3)}^{4} {(x + 2)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 {(x + 2)}^{5} {(x - 3)}^{3} + 5 {(x - 3)}^{4} {(x + 2)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 5.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 {(x + 2)}^{5} {(x - 3)}^{3} + 5 {(x - 3)}^{4} {(x + 2)}^{4} (1 + 0)$

Schritt 5.5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 5.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$4 {(x + 2)}^{5} {(x - 3)}^{3} + 5 {(x - 3)}^{4} {(x + 2)}^{4} \cdot 1$

Schritt 5.5.2

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$4 {(x + 2)}^{5} {(x - 3)}^{3} + 5 {(x - 3)}^{4} {(x + 2)}^{4}$

Schritt 5.5.3

Faktorisiere ${(x + 2)}^{4} {(x - 3)}^{3}$ aus $4 {(x + 2)}^{5} {(x - 3)}^{3} + 5 {(x - 3)}^{4} {(x + 2)}^{4}$ heraus.

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Schritt 5.5.3.1

Faktorisiere ${(x + 2)}^{4} {(x - 3)}^{3}$ aus $4 {(x + 2)}^{5} {(x - 3)}^{3}$ heraus.

${(x + 2)}^{4} {(x - 3)}^{3} (4 (x + 2)) + 5 {(x - 3)}^{4} {(x + 2)}^{4}$

Schritt 5.5.3.2

Faktorisiere ${(x + 2)}^{4} {(x - 3)}^{3}$ aus $5 {(x - 3)}^{4} {(x + 2)}^{4}$ heraus.

${(x + 2)}^{4} {(x - 3)}^{3} (4 (x + 2)) + {(x + 2)}^{4} {(x - 3)}^{3} (5 (x - 3))$

Schritt 5.5.3.3

Faktorisiere ${(x + 2)}^{4} {(x - 3)}^{3}$ aus ${(x + 2)}^{4} {(x - 3)}^{3} (4 (x + 2)) + {(x + 2)}^{4} {(x - 3)}^{3} (5 (x - 3))$ heraus.

${(x + 2)}^{4} {(x - 3)}^{3} (4 (x + 2) + 5 (x - 3))$