Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0^{+}} {(\frac{1}{x})}^{x}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(\frac{1}{x})}^{x}$ als $e^{\ln ({(\frac{1}{x})}^{x})}$ um.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({(\frac{1}{x})}^{x})}$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln ({(\frac{1}{x})}^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{x \ln (\frac{1}{x})}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} x \ln (\frac{1}{x})}$

Schritt 3

Schreibe $x \ln (\frac{1}{x})$ als $\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$ um.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}}$

Schritt 4

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\frac{1}{x})}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

Schritt 4.1.2

Da der Logarithmus gegen unendlich geht, geht der Wert gegen $\infty$ .

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

Schritt 4.1.3

Da der Zähler eine Konstante ist und der Nenner sich $0$ nähert, wenn $x$ von rechts gegen $0$ geht, geht der Bruch $\frac{1}{x}$ gegen unendlich.

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Schritt 4.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Schritt 4.2

Da $\frac{\infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 4.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 4.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Schritt 4.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 4.3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 4.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 4.3.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{x}$ zu dividieren.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 4.3.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 4.3.5

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \frac{d}{d x} [x^{- 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 4.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 1 x^{- 2}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 4.3.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x^{1} x^{- 2}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 4.3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x^{1 - 2}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 4.3.9

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x^{- 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 4.3.10

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 4.3.11

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

Schritt 4.3.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x}}{- x^{- 2}}}$

Schritt 4.3.13

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 4.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{1}{x} \cdot - 1 x^{2}}$

Schritt 4.5

Vereinige Faktoren.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} 1 \frac{1}{x} x^{2}}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} x^{2}}$

Schritt 4.5.3

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{x}}$

Schritt 4.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 4.6.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot x}{x}}$

Schritt 4.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot x}{x^{1}}}$

Schritt 4.6.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}$

Schritt 4.6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}$

Schritt 4.6.2.4

Forme den Ausdruck um.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{1}}$

Schritt 4.6.2.5

Dividiere $x$ durch $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} x}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{0}$

Schritt 6

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1$