Analysis Beispiele

$\sum_{i = 1}^{7} {(3 i - 2)}^{2}$

Schritt 1

Vereinfache die Summe.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(3 i - 2)}^{2}$ als $(3 i - 2) (3 i - 2)$ um.

$(3 i - 2) (3 i - 2)$

Schritt 1.2

Multipliziere $(3 i - 2) (3 i - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 i (3 i - 2) - 2 (3 i - 2)$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 i (3 i) + 3 i \cdot - 2 - 2 (3 i - 2)$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 i (3 i) + 3 i \cdot - 2 - 2 (3 i) - 2 \cdot - 2$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 \cdot 3 i \cdot i + 3 i \cdot - 2 - 2 (3 i) - 2 \cdot - 2$

Schritt 1.3.1.2

Multipliziere $i$ mit $i$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1.2.1

Bewege $i$ .

$3 \cdot 3 (i \cdot i) + 3 i \cdot - 2 - 2 (3 i) - 2 \cdot - 2$

Schritt 1.3.1.2.2

Mutltipliziere $i$ mit $i$ .

$3 \cdot 3 i^{2} + 3 i \cdot - 2 - 2 (3 i) - 2 \cdot - 2$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$9 i^{2} + 3 i \cdot - 2 - 2 (3 i) - 2 \cdot - 2$

Schritt 1.3.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$9 i^{2} - 6 i - 2 (3 i) - 2 \cdot - 2$

Schritt 1.3.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$9 i^{2} - 6 i - 6 i - 2 \cdot - 2$

Schritt 1.3.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$9 i^{2} - 6 i - 6 i + 4$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $6 i$ von $- 6 i$ .

$9 i^{2} - 12 i + 4$

Schritt 1.4

Schreibe die Summe um.

$\sum_{i = 1}^{7} 9 i^{2} - 12 i + 4$

Schritt 2

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{i = 1}^{7} 9 i^{2} - 12 i + 4 = 9 \sum_{i = 1}^{7} i^{2} - 12 \sum_{i = 1}^{7} i + \sum_{i = 1}^{7} 4$

Schritt 3

Berechne $9 \sum_{i = 1}^{7} i^{2}$ .

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Schritt 3.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $2$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Schritt 3.2

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(9) (\frac{7 (7 + 1) (2 \cdot 7 + 1)}{6})$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1.1

Addiere $7$ und $1$ .

$9 \frac{7 \cdot 8 (2 \cdot 7 + 1)}{6}$

Schritt 3.3.1.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.3.1.2.1

Mutltipliziere $7$ mit $8$ .

$9 \frac{56 (2 \cdot 7 + 1)}{6}$

Schritt 3.3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$9 \frac{56 (14 + 1)}{6}$

Schritt 3.3.1.3

Addiere $14$ und $1$ .

$9 \frac{56 \cdot 15}{6}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $56$ mit $15$ .

$9 (\frac{840}{6})$

Schritt 3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$3 (3) \frac{840}{6}$

Schritt 3.3.2.2.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$3 \cdot 3 \frac{840}{3 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot 3 \frac{840}{3 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$3 (\frac{840}{2})$

Schritt 3.3.2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{840}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 840}{2}$

Schritt 3.3.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.2.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $840$ .

$\frac{2520}{2}$

Schritt 3.3.2.4.2

Dividiere $2520$ durch $2$ .

$1260$

Schritt 4

Berechne $12 \sum_{i = 1}^{7} i$ .

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Schritt 4.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 4.2

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(- 12) (\frac{7 (7 + 1)}{2})$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.1.1

Addiere $7$ und $1$ .

$- 12 \frac{7 \cdot 8}{2}$

Schritt 4.3.1.2

Mutltipliziere $7$ mit $8$ .

$- 12 (\frac{56}{2})$

Schritt 4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 12$ heraus.

$2 (- 6) \frac{56}{2}$

Schritt 4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 6 \frac{56}{2}$

Schritt 4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 6 \cdot 56$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $56$ .

$- 336$

Schritt 5

Berechne $\sum_{i = 1}^{7} 4$ .

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Schritt 5.1

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 5.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$(4) (7)$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $4$ mit $7$ .

$28$

Schritt 6

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$1260 - 336 + 28$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Subtrahiere $336$ von $1260$ .

$924 + 28$

Schritt 7.2

Addiere $924$ und $28$ .

$952$