Analysis Beispiele

$y = {(3 x^{2} - 6 x + 1)}^{2}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 3 x^{2} - 6 x + 1$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x^{2} - 6 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 6 x + 1]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 6 x + 1]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x^{2} - 6 x + 1$ .

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 6 x + 1]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} - 6 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (6 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.2.5

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (6 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (6 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.2.7

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (6 x - 6 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.2.8

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (6 x - 6 + 0)$

Schritt 1.2.9

Addiere $6 x - 6$ und $0$ .

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (6 x - 6)$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 (3 x^{2}) + 2 (- 6 x) + 2 \cdot 1) (6 x - 6)$

Schritt 1.3.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.3.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$(6 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot 1) (6 x - 6)$

Schritt 1.3.2.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $2$ .

$(6 x^{2} - 12 x + 2 \cdot 1) (6 x - 6)$

Schritt 1.3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$(6 x^{2} - 12 x + 2) (6 x - 6)$

Schritt 1.3.3

Stelle die Faktoren von $(6 x^{2} - 12 x + 2) (6 x - 6)$ um.

$f' (x) = (6 x - 6) (6 x^{2} - 12 x + 2)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 6 x - 6$ und $g (x) = 6 x^{2} - 12 x + 2$ .

$(6 x - 6) \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 12 x + 2] + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x^{2} - 12 x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$(6 x - 6) (\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

Schritt 2.2.2

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{2}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(6 x - 6) (6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(6 x - 6) (6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$(6 x - 6) (12 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

Schritt 2.2.5

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12 x$ nach $x$ gleich $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(6 x - 6) (12 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

Schritt 2.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(6 x - 6) (12 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$(6 x - 6) (12 x - 12 + \frac{d}{d x} [2]) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

Schritt 2.2.8

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(6 x - 6) (12 x - 12 + 0) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

Schritt 2.2.9

Addiere $12 x - 12$ und $0$ .

$(6 x - 6) (12 x - 12) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

Schritt 2.2.10

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$(6 x - 6) (12 x - 12) + (6 x^{2} - 12 x + 2) (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Schritt 2.2.11

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(6 x - 6) (12 x - 12) + (6 x^{2} - 12 x + 2) (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Schritt 2.2.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(6 x - 6) (12 x - 12) + (6 x^{2} - 12 x + 2) (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Schritt 2.2.13

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$(6 x - 6) (12 x - 12) + (6 x^{2} - 12 x + 2) (6 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Schritt 2.2.14

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(6 x - 6) (12 x - 12) + (6 x^{2} - 12 x + 2) (6 + 0)$

Schritt 2.2.15

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.15.1

Addiere $6$ und $0$ .

$(6 x - 6) (12 x - 12) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \cdot 6$

Schritt 2.2.15.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $6 x^{2} - 12 x + 2$ .

$(6 x - 6) (12 x - 12) + 6 \cdot (6 x^{2} - 12 x + 2)$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(6 x - 6) (12 x - 12) + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

Schritt 2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(6 x - 6) (12 x) + (6 x - 6) \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

Schritt 2.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x (12 x) - 6 (12 x) + (6 x - 6) \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

Schritt 2.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x (12 x) - 6 (12 x) + 6 x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

Schritt 2.3.5

Vereine die Terme

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Schritt 2.3.5.1

Mutltipliziere $12$ mit $6$ .

$72 x \cdot x - 6 (12 x) + 6 x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

Schritt 2.3.5.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$72 (x^{1} x) - 6 (12 x) + 6 x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

Schritt 2.3.5.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$72 (x^{1} x^{1}) - 6 (12 x) + 6 x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

Schritt 2.3.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$72 x^{1 + 1} - 6 (12 x) + 6 x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

Schritt 2.3.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$72 x^{2} - 6 (12 x) + 6 x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

Schritt 2.3.5.6

Mutltipliziere $12$ mit $- 6$ .

$72 x^{2} - 72 x + 6 x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

Schritt 2.3.5.7

Mutltipliziere $- 12$ mit $6$ .

$72 x^{2} - 72 x - 72 x - 6 \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

Schritt 2.3.5.8

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 12$ .

$72 x^{2} - 72 x - 72 x + 72 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

Schritt 2.3.5.9

Subtrahiere $72 x$ von $- 72 x$ .

$72 x^{2} - 144 x + 72 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

Schritt 2.3.5.10

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$72 x^{2} - 144 x + 72 + 36 x^{2} + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

Schritt 2.3.5.11

Mutltipliziere $- 12$ mit $6$ .

$72 x^{2} - 144 x + 72 + 36 x^{2} - 72 x + 6 \cdot 2$

Schritt 2.3.5.12

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$72 x^{2} - 144 x + 72 + 36 x^{2} - 72 x + 12$

Schritt 2.3.5.13

Addiere $72 x^{2}$ und $36 x^{2}$ .

$108 x^{2} - 144 x + 72 - 72 x + 12$

Schritt 2.3.5.14

Subtrahiere $72 x$ von $- 144 x$ .

$108 x^{2} - 216 x + 72 + 12$

Schritt 2.3.5.15

Addiere $72$ und $12$ .

$f'' (x) = 108 x^{2} - 216 x + 84$