Analysis Beispiele

$\sum_{k = 5}^{5} {(k + 1)}^{2} (k - 3)$

Schritt 1

Vereinfache die Summe.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(k + 1)}^{2}$ als $(k + 1) (k + 1)$ um.

$(k + 1) (k + 1) (k - 3)$

Schritt 1.2

Multipliziere $(k + 1) (k + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(k (k + 1) + 1 (k + 1)) (k - 3)$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(k \cdot k + k \cdot 1 + 1 (k + 1)) (k - 3)$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(k \cdot k + k \cdot 1 + 1 k + 1 \cdot 1) (k - 3)$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $k$ mit $k$ .

$(k^{2} + k \cdot 1 + 1 k + 1 \cdot 1) (k - 3)$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $k$ mit $1$ .

$(k^{2} + k + 1 k + 1 \cdot 1) (k - 3)$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $k$ mit $1$ .

$(k^{2} + k + k + 1 \cdot 1) (k - 3)$

Schritt 1.3.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$(k^{2} + k + k + 1) (k - 3)$

Schritt 1.3.2

Addiere $k$ und $k$ .

$(k^{2} + 2 k + 1) (k - 3)$

Schritt 1.4

Multipliziere $(k^{2} + 2 k + 1) (k - 3)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$k^{2} k + k^{2} \cdot - 3 + 2 k \cdot k + 2 k \cdot - 3 + 1 k + 1 \cdot - 3$

Schritt 1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1

Multipliziere $k^{2}$ mit $k$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.1.1

Mutltipliziere $k^{2}$ mit $k$ .

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Schritt 1.5.1.1.1

Potenziere $k$ mit $1$ .

$k^{2} k^{1} + k^{2} \cdot - 3 + 2 k \cdot k + 2 k \cdot - 3 + 1 k + 1 \cdot - 3$

Schritt 1.5.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$k^{2 + 1} + k^{2} \cdot - 3 + 2 k \cdot k + 2 k \cdot - 3 + 1 k + 1 \cdot - 3$

Schritt 1.5.1.2

Addiere $2$ und $1$ .

$k^{3} + k^{2} \cdot - 3 + 2 k \cdot k + 2 k \cdot - 3 + 1 k + 1 \cdot - 3$

Schritt 1.5.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $k^{2}$ .

$k^{3} - 3 \cdot k^{2} + 2 k \cdot k + 2 k \cdot - 3 + 1 k + 1 \cdot - 3$

Schritt 1.5.3

Multipliziere $k$ mit $k$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.3.1

Bewege $k$ .

$k^{3} - 3 k^{2} + 2 (k \cdot k) + 2 k \cdot - 3 + 1 k + 1 \cdot - 3$

Schritt 1.5.3.2

Mutltipliziere $k$ mit $k$ .

$k^{3} - 3 k^{2} + 2 k^{2} + 2 k \cdot - 3 + 1 k + 1 \cdot - 3$

Schritt 1.5.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$k^{3} - 3 k^{2} + 2 k^{2} - 6 k + 1 k + 1 \cdot - 3$

Schritt 1.5.5

Mutltipliziere $k$ mit $1$ .

$k^{3} - 3 k^{2} + 2 k^{2} - 6 k + k + 1 \cdot - 3$

Schritt 1.5.6

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$k^{3} - 3 k^{2} + 2 k^{2} - 6 k + k - 3$

Schritt 1.6

Addiere $- 3 k^{2}$ und $2 k^{2}$ .

$k^{3} - k^{2} - 6 k + k - 3$

Schritt 1.7

Addiere $- 6 k$ und $k$ .

$k^{3} - k^{2} - 5 k - 3$

Schritt 1.8

Schreibe die Summe um.

$\sum_{k = 5}^{5} k^{3} - k^{2} - 5 k - 3$

Schritt 2

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $k$ .

$5^{3} - 5^{2} - 5 \cdot 5 - 3$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Potenziere $5$ mit $3$ .

$125 - 5^{2} - 5 \cdot 5 - 3$

Schritt 3.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$125 - 1 \cdot 25 - 5 \cdot 5 - 3$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$125 - 25 - 5 \cdot 5 - 3$

Schritt 3.4

Subtrahiere $25$ von $125$ .

$100 - 5 \cdot 5 - 3$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $- 5$ mit $5$ .

$100 - 25 - 3$

Schritt 3.6

Subtrahiere $25$ von $100$ .

$75 - 3$

Schritt 3.7

Subtrahiere $3$ von $75$ .

$72$