Analysis Beispiele

$\frac{x^{2} - x + 1}{x - 1}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{x^{2} - x + 1}{x - 1}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x^{2} - x + 1}{x - 1}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{x^{2} - x + 1}{x - 1} d x$

Schritt 4

Dividiere $x^{2} - x + 1$ durch $x - 1$ .

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Schritt 4.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$x$

$1$

Schritt 4.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x$
	$x$	-	$1$		$x^{2}$	-	$x$	+	$1$

Schritt 4.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	-	$x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$x$

Schritt 4.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{2} - x$

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	-	$x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	+	$x$

Schritt 4.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	-	$x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	+	$x$
						$0$

Schritt 4.6

Ziehe den nächsten Term vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	-	$x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	+	$x$
						$0$	+	$1$

Schritt 4.7

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int x + \frac{1}{x - 1} d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x d x + \int \frac{1}{x - 1} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{1}{x - 1} d x$

Schritt 7

Sei $u = x - 1$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 7.1

Es sei $u = x - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 7.1.1

Differenziere $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 7.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 7.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 7.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 8

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \ln (| u |) + C$

Schritt 9

Vereinfache.

$\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| u |) + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x - 1 |) + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{x^{2} - x + 1}{x - 1}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x - 1 |) + C$