Analysis Beispiele

$f (x) = - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - \frac{3}{x^{2}} d x + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{3}{x^{2}} d x + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Schritt 5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$- (3 \int \frac{1}{x^{2}} d x) + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Schritt 6.2

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- 3 \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Schritt 6.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 3 \int x^{- 2} d x + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Schritt 8

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 4 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Schritt 9

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 9.1

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 4 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Schritt 9.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 9.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 4 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 4 \int x^{- 3} d x$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Vereinfache.

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Schritt 11.1.1

Kombiniere $x^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Schritt 11.1.2

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Schritt 11.2

Vereinfache.

$- 3 (- \frac{1}{x}) + 4 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Schritt 11.3

Vereinfache.

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Schritt 11.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$3 \frac{1}{x} + 4 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Schritt 11.3.2

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{3}{x} + 4 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Schritt 11.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{3}{x} - 4 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Schritt 11.3.4

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$\frac{3}{x} + \frac{- 4}{2 x^{2}} + C$

Schritt 11.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 11.3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{3}{x} + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{2}} + C$

Schritt 11.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.3.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{3}{x} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{2})} + C$

Schritt 11.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{x} + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{2}} + C$

Schritt 11.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{x} + \frac{- 2}{x^{2}} + C$

Schritt 11.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{3}{x} - \frac{2}{x^{2}} + C$

Schritt 12

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{x} - \frac{2}{x^{2}} + C$