Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} + 2 x - 5 x^{4}}{5 x^{2} - 2 x + 1}$

Schritt 1

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{2}$ ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{- 5 x^{4}}{x^{2}}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{- 5 x^{4}}{x^{2}}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 2.1.1.2

Dividiere $5$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{- 5 x^{4}}{x^{2}}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 2.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{x \cdot 2}{x^{2}} + \frac{- 5 x^{4}}{x^{2}}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 2.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{- 5 x^{4}}{x^{2}}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{- 5 x^{4}}{x^{2}}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 2.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x} + \frac{- 5 x^{4}}{x^{2}}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 2.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{4}$ und $x^{2}$ .

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Schritt 2.1.3.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 5 x^{4}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x} + \frac{x^{2} (- 5 x^{2})}{x^{2}}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 2.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.3.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x} + \frac{x^{2} (- 5 x^{2})}{x^{2} \cdot 1}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x} + \frac{x^{2} (- 5 x^{2})}{x^{2} \cdot 1}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 2.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x} + \frac{- 5 x^{2}}{1}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 2.1.3.2.4

Dividiere $- 5 x^{2}$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x} - 5 x^{2}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x} - 5 x^{2}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $5$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x} - 5 x^{2}}{5 + \frac{- 2 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x} - 5 x^{2}}{5 + \frac{x \cdot - 2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x} - 5 x^{2}}{5 + \frac{x \cdot - 2}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x} - 5 x^{2}}{5 + \frac{x \cdot - 2}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x} - 5 x^{2}}{5 + \frac{- 2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x} - 5 x^{2}}{5 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 3

Da $x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich der Bruch $\frac{2}{x}$ $0$ an.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + 0 - 5 x^{2}}{5 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 4

Da $x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich der Bruch $\frac{2}{x}$ $0$ an.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + 0 - 5 x^{2}}{5 - 0 + \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 5

Da $x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ an.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + 0 - 5 x^{2}}{5 - 0 + 0}$

Schritt 6

Da sein Zähler unbegrenzt ist, während sein Nenner sich einer konstanten Zahl nähert, nähert sich der Bruch $\frac{5 + 0 - 5 x^{2}}{5 - 0 + 0}$ der negativen Unendlichkeit.

$- \infty$