Analysis Beispiele

$\sin^{2} (x) \cdot \cos^{2} (x)$

Schritt 1

Schreibe $\sin^{2} (x) \cdot \cos^{2} (x)$ als Funktion.

$f (x) = \sin^{2} (x) \cdot \cos^{2} (x)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \sin^{2} (x) \cdot \cos^{2} (x) d x$

Schritt 4

Benutze die Halbwinkelformel, um $\cos^{2} (x)$ als $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ neu zu schreiben.

$\int \sin^{2} (x) \cdot \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Schritt 5

Benutze die Halbwinkelformel, um $\sin^{2} (x)$ als $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} \cdot \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ mit $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$\int \frac{(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))}{2 \cdot 2} d x$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\int \frac{(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))}{4} d x$

Schritt 7

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x$

Schritt 8

Sei $u_{1} = 2 x$ . Dann ist $d u_{1} = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 8.1

Es sei $u_{1} = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 8.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 8.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 8.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\frac{1}{4} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 9

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1})$

Schritt 10

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

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Schritt 10.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Schritt 10.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{1}{8} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Schritt 10.2

Multipliziere $(1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1}))$ aus.

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Schritt 10.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{8} \int 1 (1 + \cos (u_{1})) - \cos (u_{1}) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Schritt 10.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{8} \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Schritt 10.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{8} \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cdot 1 - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 10.2.4

Bewege $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{8} \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 10.2.5

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{1}{8} \int 1 + 1 \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 10.2.6

Mutltipliziere $\cos (u_{1})$ mit $1$ .

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 10.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 10.2.8

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

Schritt 10.2.9

Potenziere $\cos (u_{1})$ mit $1$ .

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos^{1} (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

Schritt 10.2.10

Potenziere $\cos (u_{1})$ mit $1$ .

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos^{1} (u_{1}) \cos^{1} (u_{1})) d u_{1}$

Schritt 10.2.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - {\cos (u_{1})}^{1 + 1} d u_{1}$

Schritt 10.2.12

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 10.2.13

Subtrahiere $\cos (u_{1})$ von $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{8} \int 1 + 0 - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 10.2.14

Subtrahiere $\cos^{2} (u_{1})$ von $0$ .

$\frac{1}{8} \int 1 - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 11

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{8} (\int d u_{1} + \int - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Schritt 12

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C + \int - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Schritt 13

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Schritt 14

Benutze die Halbwinkelformel, um $\cos^{2} (u_{1})$ als $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1})$

Schritt 15

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Schritt 16

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Schritt 17

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Schritt 18

Sei $u_{2} = 2 u_{1}$ . Dann ist $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 18.1

Es sei $u_{2} = 2 u_{1}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 18.1.1

Differenziere $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Schritt 18.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $2 u_{1}$ nach $u_{1}$ gleich $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Schritt 18.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 18.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 18.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}))$

Schritt 19

Kombiniere $\cos (u_{2})$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}))$

Schritt 20

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Schritt 21

Das Integral von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)))$

Schritt 22

Vereinfache.

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Schritt 22.1

Vereinfache.

$\frac{1}{8} (u_{1} - \frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Schritt 22.2

Vereinfache.

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Schritt 22.2.1

Um $u_{1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{8} (u_{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Schritt 22.2.2

Kombiniere $u_{1}$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{u_{1} \cdot 2}{2} - \frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Schritt 22.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{8} (\frac{u_{1} \cdot 2 - u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Schritt 22.2.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{1}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot u_{1} - u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Schritt 22.2.5

Subtrahiere $u_{1}$ von $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Schritt 23

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 23.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 x}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Schritt 23.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 x}{2} - \frac{\sin (2 u_{1})}{4}) + C$

Schritt 23.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 x}{2} - \frac{\sin (2 (2 x))}{4}) + C$

Schritt 24

Vereinfache.

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Schritt 24.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 24.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 24.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{8} (\frac{2 x}{2} - \frac{\sin (2 (2 x))}{4}) + C$

Schritt 24.1.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$\frac{1}{8} (x - \frac{\sin (2 (2 x))}{4}) + C$

Schritt 24.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{8} (x - \frac{\sin (4 x)}{4}) + C$

Schritt 24.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{8} x + \frac{1}{8} (- \frac{\sin (4 x)}{4}) + C$

Schritt 24.3

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $x$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{8} (- \frac{\sin (4 x)}{4}) + C$

Schritt 24.4

Multipliziere $\frac{1}{8} (- \frac{\sin (4 x)}{4})$ .

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Schritt 24.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{8}$ mit $\frac{\sin (4 x)}{4}$ .

$\frac{x}{8} - \frac{\sin (4 x)}{8 \cdot 4} + C$

Schritt 24.4.2

Mutltipliziere $8$ mit $4$ .

$\frac{x}{8} - \frac{\sin (4 x)}{32} + C$

Schritt 25

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{8} x - \frac{1}{32} \sin (4 x) + C$

Schritt 26

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \sin^{2} (x) \cdot \cos^{2} (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{8} x - \frac{1}{32} \sin (4 x) + C$