Analysis Beispiele

$\int (e^{\cos (x)}) (\sin (x)) d x$

Schritt 1

Multipliziere $e^{\cos (x)}$ mit $\sin (x)$ .

$\int e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Schritt 2

Sei $u = \cos (x)$ . Dann ist $d u = - \sin (x) d x$ , folglich $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = \cos (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int - e^{u} d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int e^{u} d u$

Schritt 4

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- (e^{u} + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

$- e^{u} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$- e^{\cos (x)} + C$