Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\sqrt{3}} 6 x \sqrt{1 + x^{2}} d x$

Schritt 1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$6 \int_{0}^{\sqrt{3}} x \sqrt{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2

Sei $u = 1 + x^{2}$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Es sei $u = 1 + x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Differenziere $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Schritt 2.1.5

Addiere $0$ und $2 x$ .

$2 x$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 1 + x^{2}$ ein.

$u_{lower} = 1 + 0^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $1$ und $0$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 1 + x^{2}$ ein.

$u_{upper} = 1 + {\sqrt{3}}^{2}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$u_{upper} = 1 + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 2.5.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = 1 + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 2.5.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$u_{upper} = 1 + 3^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.5.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = 1 + 3^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.5.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = 1 + 3^{1}$

Schritt 2.5.1.5

Berechne den Exponenten.

$u_{upper} = 1 + 3$

Schritt 2.5.2

Addiere $1$ und $3$ .

$u_{upper} = 4$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$6 \int_{1}^{4} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 3

Kombiniere $\sqrt{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$6 \int_{1}^{4} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$6 (\frac{1}{2} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u)$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $6$ .

$\frac{6}{2} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

Schritt 5.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 \cdot 3}{2} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

Schritt 5.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

Schritt 5.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

Schritt 5.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{1} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

Schritt 5.1.2.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$3 \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

Schritt 5.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$3 \int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4})$

Schritt 7

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $u^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4})$

Schritt 8

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Berechne $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ bei $4$ und $1$ .

$3 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 8.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$3 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 8.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 8.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 8.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$3 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 8.2.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$3 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 8.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 8.2.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1}{3})$

Schritt 8.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2}{3})$

Schritt 8.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 \frac{16 - 2}{3}$

Schritt 8.2.9

Subtrahiere $2$ von $16$ .

$3 (\frac{14}{3})$

Schritt 8.2.10

Kombiniere $3$ und $\frac{14}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 14}{3}$

Schritt 8.2.11

Mutltipliziere $3$ mit $14$ .

$\frac{42}{3}$

Schritt 8.2.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $42$ und $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.12.1

Faktorisiere $3$ aus $42$ heraus.

$\frac{3 \cdot 14}{3}$

Schritt 8.2.12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.12.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot 14}{3 (1)}$

Schritt 8.2.12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 14}{3 \cdot 1}$

Schritt 8.2.12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{14}{1}$

Schritt 8.2.12.2.4

Dividiere $14$ durch $1$ .

$14$

Schritt 9