Analysis Beispiele

$y = x e^{x^{2}}$ , $y = - 2 x$ , $x = 1$ , $x = 0$

Schritt 1

Um das Volumen des Körpers zu bestimmen, definiere zuerst die Fläche jeder Scheibe und integriere anschließend über den Wertebereich. Die Fläche jeder Scheibe ist die Fläche eines Kreises mit Radius $f (x)$ und $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ , wobei $f (x) = x e^{x^{2}}$ und $g (x) = - 2 x$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Wende die Produktregel auf $x e^{x^{2}}$ an.

$V = x^{2} {(e^{x^{2}})}^{2} - {(- 2 x)}^{2}$

Schritt 2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{x^{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = x^{2} e^{x^{2} \cdot 2} - {(- 2 x)}^{2}$

Schritt 2.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$V = x^{2} e^{2 x^{2}} - {(- 2 x)}^{2}$

Schritt 2.3

Wende die Produktregel auf $- 2 x$ an.

$V = x^{2} e^{2 x^{2}} - ({(- 2)}^{2} x^{2})$

Schritt 2.4

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$V = x^{2} e^{2 x^{2}} - (4 x^{2})$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$V = x^{2} e^{2 x^{2}} - 4 x^{2}$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$V = π (\int_{0}^{1} x^{2} e^{2 x^{2}} d x + \int_{0}^{1} - 4 x^{2} d x)$

Schritt 4

Sei $u_{1} = 2 x^{2}$ . Dann ist $d u_{1} = 4 x d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u_{1} = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u_{1} = 2 x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 4.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (2 x)$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x$

Schritt 4.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u_{1} = 2 x^{2}$ ein.

$u_{lower} = 2 \cdot 0^{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 4.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u_{1} = 2 x^{2}$ ein.

$u_{upper} = 2 \cdot 1^{2}$

Schritt 4.5

Vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{upper} = 2 \cdot 1$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u_{upper} = 2$

Schritt 4.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

Schritt 4.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{1}$ , $d u_{1}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$V = π (\int_{0}^{2} \frac{\sqrt{2 u_{1}}}{2} \cdot (e^{u_{1}} (\frac{1}{4})) d u_{1} + \int_{0}^{1} - 4 x^{2} d x)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{\sqrt{2 u_{1}}}{2}$ und $e^{u_{1}}$ .

$V = π (\int_{0}^{2} \frac{\sqrt{2 u_{1}} e^{u_{1}}}{2} \cdot \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{1} - 4 x^{2} d x)$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2 u_{1}} e^{u_{1}}}{2}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$V = π (\int_{0}^{2} \frac{\sqrt{2 u_{1}} e^{u_{1}}}{2 \cdot 4} d u_{1} + \int_{0}^{1} - 4 x^{2} d x)$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$V = π (\int_{0}^{2} \frac{\sqrt{2 u_{1}} e^{u_{1}}}{8} d u_{1} + \int_{0}^{1} - 4 x^{2} d x)$

Schritt 6

Da $\frac{1}{8}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{8}$ aus dem Integral.

$V = π (\frac{1}{8} \cdot \int_{0}^{2} \sqrt{2 u_{1}} e^{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - 4 x^{2} d x)$

Schritt 7

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = e^{u_{1}}$ und $d v = \sqrt{2 u_{1}}$ .

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{3}$ .

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

Schritt 8.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 8.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

Schritt 8.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

Schritt 8.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 8.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

Schritt 8.4

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

Schritt 8.5

Kombiniere $e^{u_{1}}$ und $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

Schritt 8.6

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{3}$ .

Schritt 8.7

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

Schritt 8.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 8.8.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

Schritt 8.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

Schritt 8.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 8.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

Schritt 8.9

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

Schritt 8.10

Kombiniere $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ und $e^{u_{1}}$ .

Schritt 9

Da $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ aus dem Integral.

Schritt 10

Das Integral von $e^{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $e^{u_{1}}$ .

Schritt 11

Kombiniere $e^{u_{1}}]_{0}^{2}$ und $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

Schritt 12

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

Schritt 13

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

Schritt 14

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

Schritt 15

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 15.1

Berechne $\frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ bei $2$ und $0$ .

Schritt 15.2

Berechne $e^{u_{1}}$ bei $2$ und $0$ .

$V = π (\frac{1}{8} \cdot ((\frac{e^{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{e^{0} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{((e^{2}) - e^{0}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) - 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}))$

Schritt 15.3

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $1$ und $0$ .

$V = π (\frac{1}{8} \cdot ((\frac{e^{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{e^{0} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{((e^{2}) - e^{0}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 15.4

Vereinfache.

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Schritt 15.4.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$V = π (\frac{1}{8} \cdot (\frac{e^{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{((e^{2}) - e^{0}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 15.4.2

Mutltipliziere ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ mit $1$ .

$V = π (\frac{1}{8} \cdot (\frac{e^{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{((e^{2}) - e^{0}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 15.4.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$V = π (\frac{1}{8} \cdot (\frac{e^{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{(e^{2} - 1 \cdot 1) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 15.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$V = π (\frac{1}{8} \cdot (\frac{e^{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{(e^{2} - 1) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 15.4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = π (\frac{1}{8} \cdot (\frac{e^{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - (e^{2} - 1) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 15.4.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$V = π (\frac{1}{8} \cdot (\frac{e^{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - (e^{2} - 1) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) - 4 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 15.4.7

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$V = π (\frac{1}{8} \cdot (\frac{e^{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - (e^{2} - 1) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) - 4 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}))$

Schritt 15.4.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 15.4.8.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$V = π (\frac{1}{8} \cdot (\frac{e^{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - (e^{2} - 1) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) - 4 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Schritt 15.4.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.4.8.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$V = π (\frac{1}{8} \cdot (\frac{e^{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - (e^{2} - 1) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) - 4 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Schritt 15.4.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = π (\frac{1}{8} \cdot (\frac{e^{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - (e^{2} - 1) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) - 4 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Schritt 15.4.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$V = π (\frac{1}{8} \cdot (\frac{e^{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - (e^{2} - 1) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) - 4 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}))$

Schritt 15.4.8.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$V = π (\frac{1}{8} \cdot (\frac{e^{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - (e^{2} - 1) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) - 4 (\frac{1}{3} - 0))$

Schritt 15.4.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$V = π (\frac{1}{8} \cdot (\frac{e^{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - (e^{2} - 1) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) - 4 (\frac{1}{3} + 0))$

Schritt 15.4.10

Addiere $\frac{1}{3}$ und $0$ .

$V = π (\frac{1}{8} \cdot (\frac{e^{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - (e^{2} - 1) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) - 4 (\frac{1}{3}))$

Schritt 15.4.11

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{3}$ .

$V = π (\frac{1}{8} \cdot (\frac{e^{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - (e^{2} - 1) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) + \frac{- 4}{3})$

Schritt 15.4.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$V = π (\frac{1}{8} \cdot (\frac{e^{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - (e^{2} - 1) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{4}{3})$

Schritt 15.4.13

Um $\frac{1}{8} (\frac{e^{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - (e^{2} - 1) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{1}{8} \cdot (\frac{e^{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - (e^{2} - 1) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3})$

Schritt 15.4.14

Kombiniere $\frac{1}{8} (\frac{e^{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - (e^{2} - 1) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3})$ und $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{\frac{1}{8} \cdot (\frac{e^{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - (e^{2} - 1) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) \cdot 3}{3} - \frac{4}{3})$

Schritt 15.4.15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = π (\frac{\frac{1}{8} \cdot (\frac{e^{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - (e^{2} - 1) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) \cdot 3 - 4}{3})$

Schritt 15.4.16

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{8}$ .

$V = π (\frac{\frac{3}{8} \cdot (\frac{e^{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - (e^{2} - 1) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) - 4}{3})$

Schritt 15.4.17

Kombiniere $π$ und $\frac{\frac{3}{8} (\frac{e^{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - (e^{2} - 1) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) - 4}{3}$ .

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot (\frac{e^{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - (e^{2} - 1) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) - 4)}{3}$

Schritt 16

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 16.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 u_{1}$ .

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot (\frac{e^{2} {(2 u_{1})}^{\frac{3}{2}} - (e^{2} - 1) {(2 u_{1})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{(2 u_{1})}^{\frac{3}{2}}}{3}) - 4)}{3}$

Schritt 16.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x^{2}$ .

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot (\frac{e^{2} {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}} - (e^{2} - 1) {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3}) - 4)}{3}$

Schritt 17

Vereinfache.

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Schritt 17.1

Wende das Distributivgesetz an.

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot (\frac{e^{2} {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}} + (- e^{2} + 1) {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3}) - 4)}{3}$

Schritt 17.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot (\frac{e^{2} {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}} + (- e^{2} + 1) {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3}) - 4)}{3}$

Schritt 17.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{e^{2} {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}} + (- e^{2} + 1) {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}} - {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3} - 4)}{3}$

Schritt 17.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 17.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{e^{2} {(4 x^{2})}^{\frac{3}{2}} + (- e^{2} + 1) {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}} - {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3} - 4)}{3}$

Schritt 17.4.2

Wende die Produktregel auf $4 x^{2}$ an.

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{e^{2} (4^{\frac{3}{2}} {(x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + (- e^{2} + 1) {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}} - {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3} - 4)}{3}$

Schritt 17.4.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{e^{2} ({(2^{2})}^{\frac{3}{2}} {(x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + (- e^{2} + 1) {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}} - {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3} - 4)}{3}$

Schritt 17.4.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{e^{2} (2^{2 (\frac{3}{2})} {(x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + (- e^{2} + 1) {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}} - {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3} - 4)}{3}$

Schritt 17.4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 17.4.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{e^{2} (2^{2 (\frac{3}{2})} {(x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + (- e^{2} + 1) {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}} - {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3} - 4)}{3}$

Schritt 17.4.5.2

Forme den Ausdruck um.

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{e^{2} (2^{3} {(x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + (- e^{2} + 1) {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}} - {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3} - 4)}{3}$

Schritt 17.4.6

Potenziere $2$ mit $3$ .

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{e^{2} (8 {(x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + (- e^{2} + 1) {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}} - {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3} - 4)}{3}$

Schritt 17.4.7

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 17.4.7.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{e^{2} (8 x^{2 (\frac{3}{2})}) + (- e^{2} + 1) {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}} - {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3} - 4)}{3}$

Schritt 17.4.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 17.4.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{e^{2} (8 x^{2 (\frac{3}{2})}) + (- e^{2} + 1) {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}} - {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3} - 4)}{3}$

Schritt 17.4.7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{e^{2} (8 x^{3}) + (- e^{2} + 1) {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}} - {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3} - 4)}{3}$

Schritt 17.4.8

Bringe $8$ auf die linke Seite von $e^{2}$ .

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{8 \cdot (e^{2} x^{3}) + (- e^{2} + 1) {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}} - {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3} - 4)}{3}$

Schritt 17.4.9

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{8 e^{2} x^{3} + (- e^{2} + 1) {(4 x^{2})}^{\frac{3}{2}} - {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3} - 4)}{3}$

Schritt 17.4.10

Wende die Produktregel auf $4 x^{2}$ an.

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{8 e^{2} x^{3} + (- e^{2} + 1) (4^{\frac{3}{2}} {(x^{2})}^{\frac{3}{2}}) - {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3} - 4)}{3}$

Schritt 17.4.11

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{8 e^{2} x^{3} + (- e^{2} + 1) ({(2^{2})}^{\frac{3}{2}} {(x^{2})}^{\frac{3}{2}}) - {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3} - 4)}{3}$

Schritt 17.4.12

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{8 e^{2} x^{3} + (- e^{2} + 1) (2^{2 (\frac{3}{2})} {(x^{2})}^{\frac{3}{2}}) - {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3} - 4)}{3}$

Schritt 17.4.13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 17.4.13.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{8 e^{2} x^{3} + (- e^{2} + 1) (2^{2 (\frac{3}{2})} {(x^{2})}^{\frac{3}{2}}) - {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3} - 4)}{3}$

Schritt 17.4.13.2

Forme den Ausdruck um.

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{8 e^{2} x^{3} + (- e^{2} + 1) (2^{3} {(x^{2})}^{\frac{3}{2}}) - {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3} - 4)}{3}$

Schritt 17.4.14

Potenziere $2$ mit $3$ .

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{8 e^{2} x^{3} + (- e^{2} + 1) (8 {(x^{2})}^{\frac{3}{2}}) - {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3} - 4)}{3}$

Schritt 17.4.15

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 17.4.15.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{8 e^{2} x^{3} + (- e^{2} + 1) (8 x^{2 (\frac{3}{2})}) - {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3} - 4)}{3}$

Schritt 17.4.15.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 17.4.15.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{8 e^{2} x^{3} + (- e^{2} + 1) (8 x^{2 (\frac{3}{2})}) - {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3} - 4)}{3}$

Schritt 17.4.15.2.2

Forme den Ausdruck um.

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{8 e^{2} x^{3} + (- e^{2} + 1) (8 x^{3}) - {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3} - 4)}{3}$

Schritt 17.4.16

Wende das Distributivgesetz an.

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{8 e^{2} x^{3} - e^{2} (8 x^{3}) + 1 (8 x^{3}) - {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3} - 4)}{3}$

Schritt 17.4.17

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{8 e^{2} x^{3} - 8 e^{2} x^{3} + 1 (8 x^{3}) - {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3} - 4)}{3}$

Schritt 17.4.18

Mutltipliziere $8 x^{3}$ mit $1$ .

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{8 e^{2} x^{3} - 8 e^{2} x^{3} + 8 x^{3} - {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3} - 4)}{3}$

Schritt 17.4.19

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{8 e^{2} x^{3} - 8 e^{2} x^{3} + 8 x^{3} - {(4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - 4)}{3}$

Schritt 17.4.20

Wende die Produktregel auf $4 x^{2}$ an.

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{8 e^{2} x^{3} - 8 e^{2} x^{3} + 8 x^{3} - (4^{\frac{3}{2}} {(x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} - 4)}{3}$

Schritt 17.4.21

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{8 e^{2} x^{3} - 8 e^{2} x^{3} + 8 x^{3} - ({(2^{2})}^{\frac{3}{2}} {(x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} - 4)}{3}$

Schritt 17.4.22

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{8 e^{2} x^{3} - 8 e^{2} x^{3} + 8 x^{3} - (2^{2 (\frac{3}{2})} {(x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} - 4)}{3}$

Schritt 17.4.23

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 17.4.23.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{8 e^{2} x^{3} - 8 e^{2} x^{3} + 8 x^{3} - (2^{2 (\frac{3}{2})} {(x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} - 4)}{3}$

Schritt 17.4.23.2

Forme den Ausdruck um.

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{8 e^{2} x^{3} - 8 e^{2} x^{3} + 8 x^{3} - (2^{3} {(x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} - 4)}{3}$

Schritt 17.4.24

Potenziere $2$ mit $3$ .

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{8 e^{2} x^{3} - 8 e^{2} x^{3} + 8 x^{3} - (8 {(x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} - 4)}{3}$

Schritt 17.4.25

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 17.4.25.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{8 e^{2} x^{3} - 8 e^{2} x^{3} + 8 x^{3} - (8 x^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - 4)}{3}$

Schritt 17.4.25.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 17.4.25.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{8 e^{2} x^{3} - 8 e^{2} x^{3} + 8 x^{3} - (8 x^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - 4)}{3}$

Schritt 17.4.25.2.2

Forme den Ausdruck um.

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{8 e^{2} x^{3} - 8 e^{2} x^{3} + 8 x^{3} - (8 x^{3})}{3} - 4)}{3}$

Schritt 17.4.26

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{8 e^{2} x^{3} - 8 e^{2} x^{3} + 8 x^{3} - 8 x^{3}}{3} - 4)}{3}$

Schritt 17.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $8 e^{2} x^{3} - 8 e^{2} x^{3} + 8 x^{3} - 8 x^{3}$ .

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Schritt 17.5.1

Subtrahiere $8 e^{2} x^{3}$ von $8 e^{2} x^{3}$ .

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{0 + 8 x^{3} - 8 x^{3}}{3} - 4)}{3}$

Schritt 17.5.2

Subtrahiere $8 x^{3}$ von $8 x^{3}$ .

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{0 + 0}{3} - 4)}{3}$

Schritt 17.5.3

Addiere $0$ und $0$ .

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{0}{3} - 4)}{3}$

Schritt 17.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 17.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{0}{3} - 4)}{3}$

Schritt 17.6.2

Forme den Ausdruck um.

$V = \frac{π (\frac{1}{8} \cdot 0 - 4)}{3}$

Schritt 17.7

Mutltipliziere $\frac{1}{8}$ mit $0$ .

$V = \frac{π (0 - 4)}{3}$

Schritt 17.8

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$V = \frac{π \cdot - 4}{3}$

Schritt 17.9

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $π$ .

$V = \frac{- 4 \cdot π}{3}$

Schritt 17.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$V = - \frac{4 π}{3}$

Schritt 18

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$V = - \frac{4 π}{3}$

Dezimalform:

$V = - 4.18879020 \dots$

Schritt 19