Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} {(1 - \sin (2 x))}^{\frac{1}{3 x}}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(1 - \sin (2 x))}^{\frac{1}{3 x}}$ als $e^{\ln ({(1 - \sin (2 x))}^{\frac{1}{3 x}})}$ um.

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(1 - \sin (2 x))}^{\frac{1}{3 x}})}$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln ({(1 - \sin (2 x))}^{\frac{1}{3 x}})$ durch Herausziehen von $\frac{1}{3 x}$ aus dem Logarithmus.

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{3 x} \ln (1 - \sin (2 x))}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{3 x} \ln (1 - \sin (2 x))}$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{1}{3 x}$ und $\ln (1 - \sin (2 x))$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 - \sin (2 x))}{3 x}}$

Schritt 2.3

Ziehe den Term $\frac{1}{3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 - \sin (2 x))}{x}}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \ln (1 - \sin (2 x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 3.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1.2.1.1

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 - \sin (2 x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.2.1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \sin (2 x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.2.1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (1 - lim_{x \to 0} \sin (2 x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.2.1.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (1 - \sin (lim_{x \to 0} 2 x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.2.1.5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (1 - \sin (2 lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (1 - \sin (2 \cdot 0))}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (1 - \sin (0))}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.2.3.1.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (1 - 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.2.3.2

Addiere $1$ und $0$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.2.3.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}}$

Schritt 3.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}}$

Schritt 3.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 - \sin (2 x))}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 - \sin (2 x))]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 - \sin (2 x))]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 1 - \sin (2 x)$ .

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Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $1 - \sin (2 x)$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [1 - \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $1 - \sin (2 x)$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - \sin (2 x)} \frac{d}{d x} [1 - \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \sin (2 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - \sin (2 x)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - \sin (2 x)} (0 + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - \sin (2 x)} \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \sin (2 x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - \sin (2 x)} \cdot - 1 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 3.3.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - \sin (2 x)} \cdot - 1 \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.7.2

Die Ableitung von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\cos (u_{2})$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - \sin (2 x)} \cdot - 1 \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.7.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - \sin (2 x)} \cdot - 1 \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.8

Kombiniere $\frac{1}{1 - \sin (2 x)}$ und $\cos (2 x)$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\cos (2 x)}{1 - \sin (2 x)} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.9

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\cos (2 x)}{1 - \sin (2 x)} \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.10

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 \frac{\cos (2 x)}{1 - \sin (2 x)} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.11

Kombiniere $- 2$ und $\frac{\cos (2 x)}{1 - \sin (2 x)}$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{- 2 \cos (2 x)}{1 - \sin (2 x)} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{2 \cos (2 x)}{1 - \sin (2 x)} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{2 \cos (2 x)}{1 - \sin (2 x)} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{2 \cos (2 x)}{1 - \sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{2 \cos (2 x)}{1 - \sin (2 x)}}{1}}$

Schritt 3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} - \frac{2 \cos (2 x)}{1 - \sin (2 x)} \cdot 1}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} - \frac{2 \cos (2 x)}{1 - \sin (2 x)}}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{\frac{1}{3} \cdot - 1 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{1 - \sin (2 x)}}$

Schritt 4.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x)}{1 - \sin (2 x)}}$

Schritt 4.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$e^{\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sin (2 x)}}$

Schritt 4.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$e^{\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{\cos (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sin (2 x)}}$

Schritt 4.5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sin (2 x)}}$

Schritt 4.6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$e^{\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \sin (2 x)}}$

Schritt 4.7

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$e^{\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{1 - lim_{x \to 0} \sin (2 x)}}$

Schritt 4.8

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$e^{\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{1 - \sin (lim_{x \to 0} 2 x)}}$

Schritt 4.9

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{1 - \sin (2 lim_{x \to 0} x)}}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{\cos (2 \cdot 0)}{1 - \sin (2 lim_{x \to 0} x)}}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{\cos (2 \cdot 0)}{1 - \sin (2 \cdot 0)}}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 1$ .

$e^{\frac{- 1}{3} \cdot 2 \frac{\cos (2 \cdot 0)}{1 - \sin (2 \cdot 0)}}$

Schritt 6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{- \frac{1}{3} \cdot 2 \frac{\cos (2 \cdot 0)}{1 - \sin (2 \cdot 0)}}$

Schritt 6.3

Multipliziere $- \frac{1}{3} \cdot 2$ .

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{3}) \frac{\cos (2 \cdot 0)}{1 - \sin (2 \cdot 0)}}$

Schritt 6.3.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{3}$ .

$e^{\frac{- 2}{3} \cdot \frac{\cos (2 \cdot 0)}{1 - \sin (2 \cdot 0)}}$

Schritt 6.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{- \frac{2}{3} \cdot \frac{\cos (2 \cdot 0)}{1 - \sin (2 \cdot 0)}}$

Schritt 6.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$e^{- \frac{2}{3} \cdot \frac{\cos (0)}{1 - \sin (2 \cdot 0)}}$

Schritt 6.5.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$e^{- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1 - \sin (2 \cdot 0)}}$

Schritt 6.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$e^{- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1 - \sin (0)}}$

Schritt 6.6.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$e^{- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1 - 0}}$

Schritt 6.6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$e^{- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1 + 0}}$

Schritt 6.6.4

Addiere $1$ und $0$ .

$e^{- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1}}$

Schritt 6.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 6.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1}}$

Schritt 6.7.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{- \frac{2}{3} \cdot 1}$

Schritt 6.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e^{- \frac{2}{3}}$

Schritt 6.9

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{2}{3}}}$