Analysis Beispiele

$\int_{0}^{x} (1 + 2 t + 3 t^{2} + 4 t^{3}) d t$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{0}^{x} 1 + 2 t + 3 t^{2} + 4 t^{3} d t$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{x} d t + \int_{0}^{x} 2 t d t + \int_{0}^{x} 3 t^{2} d t + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

Schritt 3

Wende die Konstantenregel an.

$t]_{0}^{x} + \int_{0}^{x} 2 t d t + \int_{0}^{x} 3 t^{2} d t + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

Schritt 4

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$t]_{0}^{x} + 2 \int_{0}^{x} t d t + \int_{0}^{x} 3 t^{2} d t + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t$ nach $t$ gleich $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{1}{2} t^{2}]_{0}^{x}) + \int_{0}^{x} 3 t^{2} d t + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

Schritt 6

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $t^{2}$ .

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + \int_{0}^{x} 3 t^{2} d t + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

Schritt 7

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 \int_{0}^{x} t^{2} d t + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{2}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 (\frac{1}{3} t^{3}]_{0}^{x}) + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $t^{3}$ .

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

Schritt 10

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + 4 \int_{0}^{x} t^{3} d t$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{3}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{4} t^{4}$ .

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + 4 (\frac{1}{4} t^{4}]_{0}^{x})$

Schritt 12

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 12.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $t^{4}$ .

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + 4 (\frac{t^{4}}{4}]_{0}^{x})$

Schritt 12.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 12.2.1

Berechne $t$ bei $x$ und $0$ .

$(x) + 0 + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + 4 (\frac{t^{4}}{4}]_{0}^{x})$

Schritt 12.2.2

Berechne $\frac{t^{2}}{2}$ bei $x$ und $0$ .

$x + 0 + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + 4 (\frac{t^{4}}{4}]_{0}^{x})$

Schritt 12.2.3

Berechne $\frac{t^{3}}{3}$ bei $x$ und $0$ .

$x + 0 + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{t^{4}}{4}]_{0}^{x})$

Schritt 12.2.4

Berechne $\frac{t^{4}}{4}$ bei $x$ und $0$ .

$x + 0 + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5

Vereinfache.

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Schritt 12.2.5.1

Addiere $x$ und $0$ .

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{0}{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 12.2.5.3.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.2.5.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{0}{1}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5.3.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - 0) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} + 0) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5.5

Addiere $\frac{x^{2}}{2}$ und $0$ .

$x + 2 \frac{x^{2}}{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5.6

Kombiniere $2$ und $\frac{x^{2}}{2}$ .

$x + \frac{2 x^{2}}{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.2.5.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x + \frac{2 x^{2}}{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5.7.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5.8

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 12.2.5.9.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.2.5.9.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0}{1}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5.9.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - 0) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} + 0) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5.11

Addiere $\frac{x^{3}}{3}$ und $0$ .

$x + x^{2} + 3 \frac{x^{3}}{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5.12

Kombiniere $3$ und $\frac{x^{3}}{3}$ .

$x + x^{2} + \frac{3 x^{3}}{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5.13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 12.2.5.13.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x + x^{2} + \frac{3 x^{3}}{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5.13.2

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5.14

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0}{4})$

Schritt 12.2.5.15

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $4$ .

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Schritt 12.2.5.15.1

Faktorisiere $4$ aus $0$ heraus.

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{4 (0)}{4})$

Schritt 12.2.5.15.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.2.5.15.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Schritt 12.2.5.15.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Schritt 12.2.5.15.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0}{1})$

Schritt 12.2.5.15.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - 0)$

Schritt 12.2.5.16

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} + 0)$

Schritt 12.2.5.17

Addiere $\frac{x^{4}}{4}$ und $0$ .

$x + x^{2} + x^{3} + 4 \frac{x^{4}}{4}$

Schritt 12.2.5.18

Kombiniere $4$ und $\frac{x^{4}}{4}$ .

$x + x^{2} + x^{3} + \frac{4 x^{4}}{4}$

Schritt 12.2.5.19

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 12.2.5.19.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x + x^{2} + x^{3} + \frac{4 x^{4}}{4}$

Schritt 12.2.5.19.2

Dividiere $x^{4}$ durch $1$ .

$x + x^{2} + x^{3} + x^{4}$