Analysis Beispiele

$\frac{x^{3}}{x^{4} + 1}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{x^{3}}{x^{4} + 1}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x^{3}}{x^{4} + 1}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{x^{3}}{x^{4} + 1} d x$

Schritt 4

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{4})}^{1}$ um.

$\int \frac{x^{3}}{{(x^{4})}^{1} + 1} d x$

Schritt 5

Sei $u_{1} = x^{4}$ . Dann ist $d u_{1} = 4 x^{3} d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u_{1} = x^{3} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Es sei $u_{1} = x^{4}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Differenziere $x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 5.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3}$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{1} + 1} \cdot \frac{1}{4} d u_{1}$

Schritt 6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Vereinfache.

$\int \frac{1}{u_{1} + 1} \cdot \frac{1}{4} d u_{1}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{1} + 1}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{1}{(u_{1} + 1) \cdot 4} d u_{1}$

Schritt 6.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $u_{1} + 1$ .

$\int \frac{1}{4 (u_{1} + 1)} d u_{1}$

Schritt 7

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1}$

Schritt 8

Sei $u_{2} = u_{1} + 1$ . Dann ist $d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Es sei $u_{2} = u_{1} + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.1

Differenziere $u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 1]$

Schritt 8.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $u_{1} + 1$ nach $u_{1}$ $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Schritt 8.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Schritt 8.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $u_{1}$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 8.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 9

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

$\frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) + C$

Schritt 11

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $u_{1} + 1$ .

$\frac{1}{4} \ln (| u_{1} + 1 |) + C$

Schritt 11.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{4}$ .

$\frac{1}{4} \ln (| x^{4} + 1 |) + C$

Schritt 12

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{x^{3}}{x^{4} + 1}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} \ln (| x^{4} + 1 |) + C$