Analysis Beispiele

$lim_{x \to 6} \sqrt{\frac{x^{2} - 9}{x - 3}}$

Schritt 1

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\sqrt{lim_{x \to 6} \frac{x^{2} - 9}{x - 3}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $6$ annähert.

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 6} x^{2} - 9}{lim_{x \to 6} x - 3}}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $6$ annähert.

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 6} x^{2} - lim_{x \to 6} 9}{lim_{x \to 6} x - 3}}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 6} x)}^{2} - lim_{x \to 6} 9}{lim_{x \to 6} x - 3}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $9$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $6$ annähert.

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 6} x)}^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 6} x - 3}}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $6$ annähert.

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 6} x)}^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 6} x - lim_{x \to 6} 3}}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $6$ annähert.

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 6} x)}^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 3}}$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $6$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $6$ für $x$ .

$\sqrt{\frac{6^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 3}}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $6$ für $x$ .

$\sqrt{\frac{6^{2} - 1 \cdot 9}{6 - 1 \cdot 3}}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{36 - 1 \cdot 9}{6 - 1 \cdot 3}}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\sqrt{\frac{36 - 9}{6 - 1 \cdot 3}}$

Schritt 9.3

Subtrahiere $9$ von $36$ .

$\sqrt{\frac{27}{6 - 1 \cdot 3}}$

Schritt 9.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\sqrt{\frac{27}{6 - 3}}$

Schritt 9.5

Subtrahiere $3$ von $6$ .

$\sqrt{\frac{27}{3}}$

Schritt 9.6

Dividiere $27$ durch $3$ .

$\sqrt{9}$

Schritt 9.7

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\sqrt{3^{2}}$

Schritt 9.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$3$