Analysis Beispiele

$y = \frac{2 t - 3}{t + 2}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = 2 t - 3$ und $g (t) = t + 2$ .

$\frac{(t + 2) \frac{d}{d t} [2 t - 3] - (2 t - 3) \frac{d}{d t} [t + 2]}{{(t + 2)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 t - 3$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{(t + 2) (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 3]) - (2 t - 3) \frac{d}{d t} [t + 2]}{{(t + 2)}^{2}}$

Schritt 2.2

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(t + 2) (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]) - (2 t - 3) \frac{d}{d t} [t + 2]}{{(t + 2)}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(t + 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 3]) - (2 t - 3) \frac{d}{d t} [t + 2]}{{(t + 2)}^{2}}$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{(t + 2) (2 + \frac{d}{d t} [- 3]) - (2 t - 3) \frac{d}{d t} [t + 2]}{{(t + 2)}^{2}}$

Schritt 2.5

Da $- 3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{(t + 2) (2 + 0) - (2 t - 3) \frac{d}{d t} [t + 2]}{{(t + 2)}^{2}}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{(t + 2) \cdot 2 - (2 t - 3) \frac{d}{d t} [t + 2]}{{(t + 2)}^{2}}$

Schritt 2.6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $t + 2$ .

$\frac{2 \cdot (t + 2) - (2 t - 3) \frac{d}{d t} [t + 2]}{{(t + 2)}^{2}}$

Schritt 2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t + 2$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$\frac{2 (t + 2) - (2 t - 3) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2])}{{(t + 2)}^{2}}$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 (t + 2) - (2 t - 3) (1 + \frac{d}{d t} [2])}{{(t + 2)}^{2}}$

Schritt 2.9

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{2 (t + 2) - (2 t - 3) (1 + 0)}{{(t + 2)}^{2}}$

Schritt 2.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.10.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{2 (t + 2) - (2 t - 3) \cdot 1}{{(t + 2)}^{2}}$

Schritt 2.10.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 (t + 2) - (2 t - 3)}{{(t + 2)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 t + 2 \cdot 2 - (2 t - 3)}{{(t + 2)}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 t + 2 \cdot 2 - (2 t) - - 3}{{(t + 2)}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 t + 4 - (2 t) - - 3}{{(t + 2)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 t + 4 - 2 t - - 3}{{(t + 2)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$\frac{2 t + 4 - 2 t + 3}{{(t + 2)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 t + 4 - 2 t + 3$ .

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Schritt 3.3.2.1

Subtrahiere $2 t$ von $2 t$ .

$\frac{0 + 4 + 3}{{(t + 2)}^{2}}$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $0$ und $4$ .

$\frac{4 + 3}{{(t + 2)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Addiere $4$ und $3$ .

$\frac{7}{{(t + 2)}^{2}}$