Analysis Beispiele

$\int {(x - 5)}^{2} e^{x} d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = {(x - 5)}^{2}$ und $d v = e^{x}$ .

${(x - 5)}^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x - 10) d x$

Schritt 2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = 2 x - 10$ und $d v = e^{x}$ .

${(x - 5)}^{2} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - \int e^{x} \cdot 2 d x)$

Schritt 3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{x}$ .

${(x - 5)}^{2} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - \int 2 e^{x} d x)$

Schritt 4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

${(x - 5)}^{2} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - (2 \int e^{x} d x))$

Schritt 5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

${(x - 5)}^{2} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 \int e^{x} d x)$

Schritt 6

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

${(x - 5)}^{2} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 (e^{x} + C))$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Schreibe ${(x - 5)}^{2} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 (e^{x} + C))$ als $(x - 5) (x - 5) e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 e^{x}) + C$ um.

$(x - 5) (x - 5) e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 e^{x}) + C$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Potenziere $x - 5$ mit $1$ .

${(x - 5)}^{1} (x - 5) e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 e^{x}) + C$

Schritt 7.2.2

Potenziere $x - 5$ mit $1$ .

${(x - 5)}^{1} {(x - 5)}^{1} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 e^{x}) + C$

Schritt 7.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(x - 5)}^{1 + 1} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 e^{x}) + C$

Schritt 7.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

${(x - 5)}^{2} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 e^{x}) + C$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

${(x - 5)}^{2} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x}) - (- 2 e^{x}) + C$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

${(x - 5)}^{2} e^{x} - (2 x - 10) e^{x} + 2 e^{x} + C$

Schritt 7.3.3

Stelle die Faktoren in $- (2 x - 10) e^{x} + 2 e^{x}$ um.

${(x - 5)}^{2} e^{x} - e^{x} (2 x - 10) + 2 e^{x} + C$