Analysis Beispiele

$\int 3 {(5 + x)}^{2} d x$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int {(5 + x)}^{2} d x$

Schritt 2

Sei $u = 5 + x$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 5 + x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $5 + x$ .

$\frac{d}{d x} [5 + x]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 1$

Schritt 2.1.5

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$3 \int u^{2} d u$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe $3 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ als $3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$ um.

$3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} u^{3} + C$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{3} u^{3} + C$

Schritt 4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 u^{3} + C$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $u^{3}$ mit $1$ .

$u^{3} + C$

Schritt 5

Ersetze alle $u$ durch $5 + x$ .

${(5 + x)}^{3} + C$