Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{2}{\frac{\sin (x)}{x}} + \frac{1 - \cos (x)}{x} + \frac{\tan (x)}{x}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$lim_{x \to 0} \frac{2}{\frac{\sin (x)}{x}} + lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

Schritt 1.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\sin (x)}{x}} + lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

Schritt 1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$2 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}} + lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

Schritt 1.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$2 \frac{1}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}} + lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

Schritt 2

Wende das Einschnürungstheorem an, da $\cos (x) \leq \frac{\sin (x)}{x} \leq 1$ und $lim_{x \to 0} \cos (x) = lim_{x \to 0} 1 = 1$ .

$2 (\frac{1}{1}) + lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

Schritt 3

Wende das Einschnürungstheorem an, da $0 \leq \frac{1 - \cos (x)}{x} \leq \frac{x}{2}$ und $lim_{x \to 0} 0 = lim_{x \to 0} \frac{x}{2} = 0$ .

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

Schritt 4

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \frac{lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 4.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 4.1.2.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \frac{\tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 4.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 4.1.2.3

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 4.1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \frac{0}{0}$

Schritt 4.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \frac{0}{0}$

Schritt 4.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 4.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3.2

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{1}$

Schritt 4.4

Dividiere $\sec^{2} (x)$ durch $1$ .

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sec^{2} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}$

Schritt 5.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \sec^{2} (0)$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 7.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \sec^{2} (0)$

Schritt 7.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 \cdot 1 + 0 + \sec^{2} (0)$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + 0 + \sec^{2} (0)$

Schritt 7.1.3

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$2 + 0 + 1^{2}$

Schritt 7.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 + 0 + 1$

Schritt 7.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2 + 1$

Schritt 7.3

Addiere $2$ und $1$ .

$3$