Analysis Beispiele

$\int \frac{8 x - 3}{{(4 x^{2} - 3 x)}^{4}} d x$

Schritt 1

Sei $u = 4 x^{2} - 3 x$ . Dann ist $d u = (8 x - 3) d x$ , folglich $\frac{1}{8 x - 3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Es sei $u = 4 x^{2} - 3 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere $4 x^{2} - 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3 x]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{2} - 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Schritt 1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.4.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 x - 3 \cdot 1$

Schritt 1.1.4.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$8 x - 3$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u^{4}} d u$

Schritt 2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Bringe $u^{4}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(u^{4})}^{- 1} d u$

Schritt 2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{4})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{4 \cdot - 1} d u$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\int u^{- 4} d u$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 4}$ nach $u$ gleich $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$- \frac{1}{3} u^{- 3} + C$

Schritt 4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Schreibe $- \frac{1}{3} u^{- 3} + C$ als $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}} + C$ um.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}} + C$

Schritt 4.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u^{3}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{u^{3} \cdot 3} + C$

Schritt 4.2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $u^{3}$ .

$- \frac{1}{3 u^{3}} + C$

Schritt 5

Ersetze alle $u$ durch $4 x^{2} - 3 x$ .

$- \frac{1}{3 {(4 x^{2} - 3 x)}^{3}} + C$