Analysis Beispiele

$y = 7 x^{3} - 5 x^{2} + x$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 x^{3} - 5 x^{2} + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [7 x^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x^{3}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$7 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$21 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$21 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$21 x^{2} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$21 x^{2} - 10 x + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 21 x^{2} - 10 x + 1$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $21 x^{2} - 10 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [21 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $21$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $21 x^{2}$ nach $x$ gleich $21 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$21 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$21 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $21$ .

$42 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 10 x$ nach $x$ gleich $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$42 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$42 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 10$ mit $1$ .

$42 x - 10 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$42 x - 10 + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $42 x - 10$ und $0$ .

$f'' (x) = 42 x - 10$