Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x^{3} - 2 x + 3}{3 x^{3} + 3 x^{2} - 5 x}$

Schritt 1

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{3}$ ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 2 x}{x^{3}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{3 x^{3}}{x^{3}} + \frac{3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 5 x}{x^{3}}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 2 x}{x^{3}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{3 x^{3}}{x^{3}} + \frac{3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 5 x}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.1.2

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 + \frac{- 2 x}{x^{3}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{3 x^{3}}{x^{3}} + \frac{3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 5 x}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{3}$ .

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 + \frac{x \cdot - 2}{x^{3}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{3 x^{3}}{x^{3}} + \frac{3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 5 x}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 + \frac{x \cdot - 2}{x \cdot x^{2}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{3 x^{3}}{x^{3}} + \frac{3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 5 x}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 + \frac{x \cdot - 2}{x \cdot x^{2}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{3 x^{3}}{x^{3}} + \frac{3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 5 x}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 + \frac{- 2}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{3 x^{3}}{x^{3}} + \frac{3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 5 x}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 - \frac{2}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{3 x^{3}}{x^{3}} + \frac{3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 5 x}{x^{3}}}$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 - \frac{2}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{3 x^{3}}{x^{3}} + \frac{3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 5 x}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $3$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 - \frac{2}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}}}{3 + \frac{3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 5 x}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{3}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 - \frac{2}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}}}{3 + \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{3}} + \frac{- 5 x}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 - \frac{2}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}}}{3 + \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x} + \frac{- 5 x}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 - \frac{2}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}}}{3 + \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x} + \frac{- 5 x}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 - \frac{2}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}}}{3 + \frac{3}{x} + \frac{- 5 x}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{3}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Faktorisiere $x$ aus $- 5 x$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 - \frac{2}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}}}{3 + \frac{3}{x} + \frac{x \cdot - 5}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 - \frac{2}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}}}{3 + \frac{3}{x} + \frac{x \cdot - 5}{x \cdot x^{2}}}$

Schritt 2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 - \frac{2}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}}}{3 + \frac{3}{x} + \frac{x \cdot - 5}{x \cdot x^{2}}}$

Schritt 2.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 - \frac{2}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}}}{3 + \frac{3}{x} + \frac{- 5}{x^{2}}}$

Schritt 2.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 - \frac{2}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}}}{3 + \frac{3}{x} - \frac{5}{x^{2}}}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} - 2 - \frac{2}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{3}{x} - \frac{5}{x^{2}}}$

Schritt 2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{- lim_{x \to \infty} 2 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{3}{x} - \frac{5}{x^{2}}}$

Schritt 2.5

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{- 1 \cdot 2 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{3}{x} - \frac{5}{x^{2}}}$

Schritt 2.6

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- 2 - 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{3}{x} - \frac{5}{x^{2}}}$

Schritt 3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{- 2 - 2 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{3}{x} - \frac{5}{x^{2}}}$

Schritt 4

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- 2 - 2 \cdot 0 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{3}{x} - \frac{5}{x^{2}}}$

Schritt 5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{3}}$ $0$ .

$\frac{- 2 - 2 \cdot 0 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{3}{x} - \frac{5}{x^{2}}}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{- 2 - 2 \cdot 0 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{- 2 - 2 \cdot 0 + 3 \cdot 0}{3 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}}$

Schritt 6.3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- 2 - 2 \cdot 0 + 3 \cdot 0}{3 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}}$

Schritt 7

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{- 2 - 2 \cdot 0 + 3 \cdot 0}{3 + 3 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}}$

Schritt 8

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- 2 - 2 \cdot 0 + 3 \cdot 0}{3 + 3 \cdot 0 - 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 9

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{- 2 - 2 \cdot 0 + 3 \cdot 0}{3 + 3 \cdot 0 - 5 \cdot 0}$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$\frac{- 2 + 0 + 3 \cdot 0}{3 + 3 \cdot 0 - 5 \cdot 0}$

Schritt 10.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{- 2 + 0 + 0}{3 + 3 \cdot 0 - 5 \cdot 0}$

Schritt 10.1.3

Addiere $- 2 + 0$ und $0$ .

$\frac{- 2 + 0}{3 + 3 \cdot 0 - 5 \cdot 0}$

Schritt 10.1.4

Addiere $- 2$ und $0$ .

$\frac{- 2}{3 + 3 \cdot 0 - 5 \cdot 0}$

Schritt 10.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{- 2}{3 + 0 - 5 \cdot 0}$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $0$ .

$\frac{- 2}{3 + 0 + 0}$

Schritt 10.2.3

Addiere $3 + 0$ und $0$ .

$\frac{- 2}{3 + 0}$

Schritt 10.2.4

Addiere $3$ und $0$ .

$\frac{- 2}{3}$

Schritt 10.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{3}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{2}{3}$

Dezimalform:

$- 0.\overline{6}$