Analysis Beispiele

$\int (7 x + e^{4 x}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int 7 x + e^{4 x} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 7 x d x + \int e^{4 x} d x$

Schritt 3

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $7$ aus dem Integral.

$7 \int x d x + \int e^{4 x} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$7 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int e^{4 x} d x$

Schritt 5

Sei $u = 4 x$ . Dann ist $d u = 4 d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = 4 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 5.1.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$7 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int e^{u} \frac{1}{4} d u$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$7 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int e^{u} \frac{1}{4} d u$

Schritt 6.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{4}$ .

$7 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{e^{u}}{4} d u$

Schritt 7

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$7 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Schritt 8

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$7 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

$\frac{7 x^{2}}{2} + \frac{1}{4} e^{u} + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $4 x$ .

$\frac{7 x^{2}}{2} + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

Schritt 11

Stelle die Terme um.

$\frac{7}{2} x^{2} + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$