Analysis Beispiele

$\int e^{2 θ} \sin (2 θ) d θ$

Schritt 1

Stelle $e^{2 θ}$ und $\sin (2 θ)$ um.

$\int \sin (2 θ) e^{2 θ} d θ$

Schritt 2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \sin (2 θ)$ und $d v = e^{2 θ}$ .

$\sin (2 θ) (\frac{1}{2} e^{2 θ}) - \int \frac{1}{2} e^{2 θ} (2 \cos (2 θ)) d θ$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2} \cdot 2$ konstant bezüglich $θ$ ist, ziehe $\frac{1}{2} \cdot 2$ aus dem Integral.

$\sin (2 θ) (\frac{1}{2} e^{2 θ}) - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{2 θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

Schritt 4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 θ}$ .

$\sin (2 θ) \frac{e^{2 θ}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{2 θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

Schritt 4.2

Kombiniere $\sin (2 θ)$ und $\frac{e^{2 θ}}{2}$ .

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{2 θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

Schritt 4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

Schritt 4.4

Stelle $e^{2 θ}$ und $\cos (2 θ)$ um.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{2}{2} \int \cos (2 θ) e^{2 θ} d θ)$

Schritt 5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \cos (2 θ)$ und $d v = e^{2 θ}$ .

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{2}{2} (\cos (2 θ) (\frac{1}{2} e^{2 θ}) - \int \frac{1}{2} e^{2 θ} (- 2 \sin (2 θ)) d θ))$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2} \cdot - 2$ konstant bezüglich $θ$ ist, ziehe $\frac{1}{2} \cdot - 2$ aus dem Integral.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{2}{2} (\cos (2 θ) (\frac{1}{2} e^{2 θ}) - (\frac{1}{2} \cdot - 2 \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ)))$

Schritt 7

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 θ}$ .

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{2}{2} (\cos (2 θ) \frac{e^{2 θ}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 2 \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ)))$

Schritt 7.2

Kombiniere $\cos (2 θ)$ und $\frac{e^{2 θ}}{2}$ .

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{2}{2} (\frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 2 \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ)))$

Schritt 7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 2$ .

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{2}{2} (\frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{- 2}{2} \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ)))$

Schritt 7.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{2}{2} \cdot \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{2}{2} (- (\frac{- 2}{2} \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ))$

Schritt 7.5

Mutltipliziere $\frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ} \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{2}{2} (- (\frac{- 2}{2} \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ))$

Schritt 7.6

Multipliziere.

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Schritt 7.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ} \cdot 2}{4} - \frac{2}{2} (- (\frac{- 2}{2} \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ))$

Schritt 7.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ} \cdot 2}{4} + 1 (\frac{2}{2}) (\frac{- 2}{2} \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ)$

Schritt 7.6.3

Mutltipliziere $\frac{2}{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ} \cdot 2}{4} + \frac{2}{2} (\frac{- 2}{2} \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ)$

Schritt 7.7

Mutltipliziere $\frac{- 2}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ} \cdot 2}{4} + \frac{- 2 \cdot 2}{2 \cdot 2} \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ$

Schritt 7.8

Multipliziere.

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Schritt 7.8.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ} \cdot 2}{4} + \frac{- 4}{2 \cdot 2} \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ$

Schritt 7.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ} \cdot 2}{4} + \frac{- 4}{4} \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ$

Schritt 8

Wenn nach $\int e^{2 θ} \sin (2 θ) d θ$ aufgelöst wird, erhalten wir $\int e^{2 θ} \sin (2 θ) d θ$ = $\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ} \cdot 2}{4}}{\frac{8}{4}}$ .

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ} \cdot 2}{4}}{\frac{8}{4}} + C$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

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Schritt 9.1.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 θ) e^{2 θ}$ .

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{2 \cdot (\cos (2 θ) e^{2 θ})}{4}}{\frac{8}{4}} + C$

Schritt 9.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 9.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cos (2 θ) e^{2 θ}$ heraus.

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{2 (\cos (2 θ) e^{2 θ})}{4}}{\frac{8}{4}} + C$

Schritt 9.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{2 (\cos (2 θ) e^{2 θ})}{2 \cdot 2}}{\frac{8}{4}} + C$

Schritt 9.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{2 (\cos (2 θ) e^{2 θ})}{2 \cdot 2}}{\frac{8}{4}} + C$

Schritt 9.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}}{\frac{8}{4}} + C$

Schritt 9.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $4$ .

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Schritt 9.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}}{\frac{4 \cdot 2}{4}} + C$

Schritt 9.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.1.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}}{\frac{4 \cdot 2}{4 (1)}} + C$

Schritt 9.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}}{\frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1}} + C$

Schritt 9.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}}{\frac{2}{1}} + C$

Schritt 9.1.3.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}}{2} + C$

Schritt 9.1.4

Mutltipliziere $\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}}{2} + C$

Schritt 9.1.5

Kombinieren.

$\frac{2 (\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2})}{2 \cdot 2} + C$

Schritt 9.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} + 2 (- \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2})}{2 \cdot 2} + C$

Schritt 9.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} + 2 (- \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2})}{2 \cdot 2} + C$

Schritt 9.1.7.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} + 2 (- \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2})}{2 \cdot 2} + C$

Schritt 9.1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} - 2 \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}}{2 \cdot 2} + C$

Schritt 9.1.9

Kombiniere $- 2$ und $\frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}$ .

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} + \frac{- 2 (\cos (2 θ) e^{2 θ})}{2}}{2 \cdot 2} + C$

Schritt 9.1.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 9.1.10.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \cos (2 θ) e^{2 θ}$ heraus.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} + \frac{2 (- \cos (2 θ) e^{2 θ})}{2}}{2 \cdot 2} + C$

Schritt 9.1.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.1.10.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} + \frac{2 (- \cos (2 θ) e^{2 θ})}{2 (1)}}{2 \cdot 2} + C$

Schritt 9.1.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} + \frac{2 (- \cos (2 θ) e^{2 θ})}{2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} + C$

Schritt 9.1.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} + \frac{- \cos (2 θ) e^{2 θ}}{1}}{2 \cdot 2} + C$

Schritt 9.1.10.2.4

Dividiere $- \cos (2 θ) e^{2 θ}$ durch $1$ .

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} - \cos (2 θ) e^{2 θ}}{2 \cdot 2} + C$

Schritt 9.1.11

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} - \cos (2 θ) e^{2 θ}}{4} + C$

Schritt 9.2

Schreibe $\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} - \cos (2 θ) e^{2 θ}}{4} + C$ als $\frac{1}{4} (\sin (2 θ) e^{2 θ} - \cos (2 θ) e^{2 θ}) + C$ um.

$\frac{1}{4} (\sin (2 θ) e^{2 θ} - \cos (2 θ) e^{2 θ}) + C$