Analysis Beispiele

$lim_{x \to 16} \frac{\sqrt[4]{x^{7}} - 128}{x - 16}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 16} \sqrt[4]{x^{7}} - 128}{lim_{x \to 16} x - 16}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $16$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 16} \sqrt[4]{x^{7}} - lim_{x \to 16} 128}{lim_{x \to 16} x - 16}$

Schritt 1.1.2.1.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt[4]{lim_{x \to 16} x^{7}} - lim_{x \to 16} 128}{lim_{x \to 16} x - 16}$

Schritt 1.1.2.1.3

Ziehe den Exponenten $7$ von $x^{7}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sqrt[4]{{(lim_{x \to 16} x)}^{7}} - lim_{x \to 16} 128}{lim_{x \to 16} x - 16}$

Schritt 1.1.2.1.4

Berechne den Grenzwert von $128$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $16$ annähert.

$\frac{\sqrt[4]{{(lim_{x \to 16} x)}^{7}} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 16} x - 16}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $16$ für $x$ .

$\frac{\sqrt[4]{16^{7}} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 16} x - 16}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Potenziere $16$ mit $7$ .

$\frac{\sqrt[4]{268435456} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 16} x - 16}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Schreibe $268435456$ als $128^{4}$ um.

$\frac{\sqrt[4]{128^{4}} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 16} x - 16}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{128 - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 16} x - 16}$

Schritt 1.1.2.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $128$ .

$\frac{128 - 128}{lim_{x \to 16} x - 16}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $128$ von $128$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 16} x - 16}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $16$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 16} x - lim_{x \to 16} 16}$

Schritt 1.1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $16$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $16$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 16} x - 1 \cdot 16}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $16$ für $x$ .

$\frac{0}{16 - 1 \cdot 16}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$\frac{0}{16 - 16}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $16$ von $16$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 16} \frac{\sqrt[4]{x^{7}} - 128}{x - 16} = lim_{x \to 16} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x^{7}} - 128]}{\frac{d}{d x} [x - 16]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 16} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x^{7}} - 128]}{\frac{d}{d x} [x - 16]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt[4]{x^{7}} - 128$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x^{7}}] + \frac{d}{d x} [- 128]$ .

$lim_{x \to 16} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x^{7}}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 16]}$

Schritt 1.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x^{7}}]$ .

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Schritt 1.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{x^{7}}$ als $x^{\frac{7}{4}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to 16} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 16]}$

Schritt 1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{7}{4}$ .

$lim_{x \to 16} \frac{\frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} - 1} + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 16]}$

Schritt 1.3.3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$lim_{x \to 16} \frac{\frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 16]}$

Schritt 1.3.3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$lim_{x \to 16} \frac{\frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 16]}$

Schritt 1.3.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 16} \frac{\frac{7}{4} x^{\frac{7 - 1 \cdot 4}{4}} + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 16]}$

Schritt 1.3.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$lim_{x \to 16} \frac{\frac{7}{4} x^{\frac{7 - 4}{4}} + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 16]}$

Schritt 1.3.3.6.2

Subtrahiere $4$ von $7$ .

$lim_{x \to 16} \frac{\frac{7}{4} x^{\frac{3}{4}} + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 16]}$

Schritt 1.3.4

Da $- 128$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 128$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 16} \frac{\frac{7}{4} x^{\frac{3}{4}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 16]}$

Schritt 1.3.5

Vereinfache.

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Schritt 1.3.5.1

Addiere $\frac{7}{4} x^{\frac{3}{4}}$ und $0$ .

$lim_{x \to 16} \frac{\frac{7}{4} x^{\frac{3}{4}}}{\frac{d}{d x} [x - 16]}$

Schritt 1.3.5.2

Kombiniere $\frac{7}{4}$ und $x^{\frac{3}{4}}$ .

$lim_{x \to 16} \frac{\frac{7 x^{\frac{3}{4}}}{4}}{\frac{d}{d x} [x - 16]}$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 16$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$lim_{x \to 16} \frac{\frac{7 x^{\frac{3}{4}}}{4}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Schritt 1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 16} \frac{\frac{7 x^{\frac{3}{4}}}{4}}{1 + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Schritt 1.3.8

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 16} \frac{\frac{7 x^{\frac{3}{4}}}{4}}{1 + 0}$

Schritt 1.3.9

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to 16} \frac{\frac{7 x^{\frac{3}{4}}}{4}}{1}$

Schritt 1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 16} \frac{7 x^{\frac{3}{4}}}{4} \cdot 1$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $\frac{7 x^{\frac{3}{4}}}{4}$ mit $1$ .

$lim_{x \to 16} \frac{7 x^{\frac{3}{4}}}{4}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $\frac{7}{4}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{7}{4} lim_{x \to 16} x^{\frac{3}{4}}$

Schritt 2.2

Ziehe den Exponenten $\frac{3}{4}$ von $x^{\frac{3}{4}}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{7}{4} {(lim_{x \to 16} x)}^{\frac{3}{4}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $16$ für $x$ .

$\frac{7}{4} \cdot 16^{\frac{3}{4}}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Schreibe $16$ als $2^{4}$ um.

$\frac{7}{4} \cdot {(2^{4})}^{\frac{3}{4}}$

Schritt 4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7}{4} \cdot 2^{4 (\frac{3}{4})}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7}{4} \cdot 2^{4 (\frac{3}{4})}$

Schritt 4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{7}{4} \cdot 2^{3}$

Schritt 4.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{7}{4} \cdot 8$

Schritt 4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{7}{4} \cdot (4 (2))$

Schritt 4.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7}{4} \cdot (4 \cdot 2)$

Schritt 4.5.3

Forme den Ausdruck um.

$7 \cdot 2$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$14$