Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0^{+}} x \ln (x + x^{2})$

Schritt 1

Schreibe $x \ln (x + x^{2})$ als $\frac{\ln (x + x^{2})}{\frac{1}{x}}$ um.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x + x^{2})}{\frac{1}{x}}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x + x^{2})}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

Schritt 2.1.2

Wenn $x$ von rechts gegen $0$ geht, nimmt $\ln (x + x^{2})$ ohne Schranke ab.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

Schritt 2.1.3

Da der Zähler eine Konstante ist und der Nenner sich $0$ nähert, wenn $x$ von rechts gegen $0$ geht, geht der Bruch $\frac{1}{x}$ gegen unendlich.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Schritt 2.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{- \infty}{\infty}$

Schritt 2.2

Da $\frac{- \infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x + x^{2})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + x^{2})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + x^{2})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x + x^{2}$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 2.3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + x^{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + x^{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + x^{2}} (1 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 2.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + x^{2}} (1 + 2 x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{x + x^{2}} (1 + 2 x)$ um.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(1 + 2 x) \frac{1}{x + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 2.3.6.2

Faktorisiere $x$ aus $x + x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.3.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(1 + 2 x) \frac{1}{x^{1} + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 2.3.6.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(1 + 2 x) \frac{1}{x \cdot 1 + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 2.3.6.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(1 + 2 x) \frac{1}{x \cdot 1 + x \cdot x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 2.3.6.2.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 1 + x \cdot x$ heraus.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(1 + 2 x) \frac{1}{x (1 + x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 2.3.6.3

Mutltipliziere $1 + 2 x$ mit $\frac{1}{x (1 + x)}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1 + 2 x}{x (1 + x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 2.3.7

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1 + 2 x}{x (1 + x)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

Schritt 2.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1 + 2 x}{x (1 + x)}}{- x^{- 2}}$

Schritt 2.3.9

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1 + 2 x}{x (1 + x)}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 + 2 x}{x (1 + x)} (- x^{2})$

Schritt 2.5

Kombiniere $\frac{1 + 2 x}{x (1 + x)}$ und $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{(1 + 2 x) x^{2}}{x (1 + x)}$

Schritt 2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 2.6.1

Faktorisiere $x$ aus $(1 + 2 x) x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x ((1 + 2 x) x)}{x (1 + x)}$

Schritt 2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x ((1 + 2 x) x)}{x (1 + x)}$

Schritt 2.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{(1 + 2 x) x}{1 + x}$

Schritt 2.7

Stelle die Faktoren in $- \frac{(1 + 2 x) x}{1 + x}$ um.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x (1 + 2 x)}{1 + x}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x (1 + 2 x)}{1 + x}$

Schritt 3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x (1 + 2 x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 + x}$

Schritt 3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot lim_{x \to 0^{+}} 1 + 2 x}{lim_{x \to 0^{+}} 1 + x}$

Schritt 3.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (lim_{x \to 0^{+}} 1 + lim_{x \to 0^{+}} 2 x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 + x}$

Schritt 3.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (1 + lim_{x \to 0^{+}} 2 x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 + x}$

Schritt 3.6

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (1 + 2 lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 + x}$

Schritt 3.7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (1 + 2 lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 + lim_{x \to 0^{+}} x}$

Schritt 3.8

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (1 + 2 lim_{x \to 0^{+}} x)}{1 + lim_{x \to 0^{+}} x}$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$- \frac{0 \cdot (1 + 2 lim_{x \to 0^{+}} x)}{1 + lim_{x \to 0^{+}} x}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$- \frac{0 \cdot (1 + 2 \cdot 0)}{1 + lim_{x \to 0^{+}} x}$

Schritt 4.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$- \frac{0 \cdot (1 + 2 \cdot 0)}{1 + 0}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $0$ mit $1 + 2 \cdot 0$ .

$- \frac{0}{1 + 0}$

Schritt 5.2

Addiere $1$ und $0$ .

$- \frac{0}{1}$

Schritt 5.3

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- 0$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0$