Analysis Beispiele

$\int \frac{{(3 x - 2)}^{2}}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{{(3 x - 2)}^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 1.2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(3 x - 2)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(3 x - 2)}^{2} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 1.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int {(3 x - 2)}^{2} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Schritt 1.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int {(3 x - 2)}^{2} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 2

Sei $u_{1} = 3 x - 2$ . Dann ist $d u_{1} = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u_{1} = 3 x - 2$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $3 x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.1.4.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 + 0$

Schritt 2.1.4.2

Addiere $3$ und $0$ .

$3$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int {u_{1}}^{2} {(\frac{u_{1}}{3} + \frac{2}{3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1}{3} d u_{1}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${u_{1}}^{2}$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{2}}{3} {(\frac{u_{1}}{3} + \frac{2}{3})}^{- \frac{1}{2}} d u_{1}$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{{u_{1}}^{2}}{3}$ und ${(\frac{u_{1}}{3} + \frac{2}{3})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{2} {(\frac{u_{1}}{3} + \frac{2}{3})}^{- \frac{1}{2}}}{3} d u_{1}$

Schritt 3.3

Bringe ${(\frac{u_{1}}{3} + \frac{2}{3})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{2}}{3 {(\frac{u_{1}}{3} + \frac{2}{3})}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$

Schritt 4

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{1}}^{2}}{{(\frac{u_{1}}{3} + \frac{2}{3})}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$

Schritt 5

Sei $u_{2} = \frac{u_{1}}{3} + \frac{2}{3}$ . Dann ist $d u_{2} = \frac{1}{3} d u_{1}$ , folglich $3 d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u_{2} = \frac{u_{1}}{3} + \frac{2}{3}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $\frac{u_{1}}{3} + \frac{2}{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{3} + \frac{2}{3}]$

Schritt 5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{u_{1}}{3} + \frac{2}{3}$ nach $u_{1}$ $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{3}] + \frac{d}{d u_{1}} [\frac{2}{3}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{3}] + \frac{d}{d u_{1}} [\frac{2}{3}]$

Schritt 5.1.3

Berechne $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{3}]$ .

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Schritt 5.1.3.1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $\frac{u_{1}}{3}$ nach $u_{1}$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [\frac{2}{3}]$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [\frac{2}{3}]$

Schritt 5.1.3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{d}{d u_{1}} [\frac{2}{3}]$

Schritt 5.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 5.1.4.1

Da $\frac{2}{3}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{3}$ bezüglich $u_{1}$ gleich $0$ .

$\frac{1}{3} + 0$

Schritt 5.1.4.2

Addiere $\frac{1}{3}$ und $0$ .

$\frac{1}{3}$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{3} \int \frac{{(3 u_{2} - 2)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{3}$ zu dividieren.

$\frac{1}{3} \int \frac{{(3 u_{2} - 2)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} (1 \cdot 3) d u_{2}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{{(3 u_{2} - 2)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} \cdot 3 d u_{2}$

Schritt 6.3

Kombiniere $\frac{{(3 u_{2} - 2)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}}$ und $3$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{{(3 u_{2} - 2)}^{2} \cdot 3}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Schritt 6.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von ${(3 u_{2} - 2)}^{2}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{3 {(3 u_{2} - 2)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Schritt 7

Da $3$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} (3 \int \frac{{(3 u_{2} - 2)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2})$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

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Schritt 8.1.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} \int \frac{{(3 u_{2} - 2)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Schritt 8.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{3} \int \frac{{(3 u_{2} - 2)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Schritt 8.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \int \frac{{(3 u_{2} - 2)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Schritt 8.1.3

Mutltipliziere $\int \frac{{(3 u_{2} - 2)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$ mit $1$ .

$\int \frac{{(3 u_{2} - 2)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Schritt 8.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 8.2.1

Bringe ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(3 u_{2} - 2)}^{2} {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

Schritt 8.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 8.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(3 u_{2} - 2)}^{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

Schritt 8.2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int {(3 u_{2} - 2)}^{2} {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

Schritt 8.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int {(3 u_{2} - 2)}^{2} {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Schreibe ${(3 u_{2} - 2)}^{2}$ als $(3 u_{2} - 2) (3 u_{2} - 2)$ um.

$\int (3 u_{2} - 2) (3 u_{2} - 2) {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (3 u_{2} (3 u_{2} - 2) - 2 (3 u_{2} - 2)) {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (3 u_{2} (3 u_{2}) + 3 u_{2} \cdot - 2 - 2 (3 u_{2} - 2)) {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (3 u_{2} (3 u_{2}) + 3 u_{2} \cdot - 2 - 2 (3 u_{2}) - 2 \cdot - 2) {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (3 u_{2} (3 u_{2}) + 3 u_{2} \cdot - 2) {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} + (- 2 (3 u_{2}) - 2 \cdot - 2) {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 3 u_{2} (3 u_{2}) {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} + 3 u_{2} \cdot - 2 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} + (- 2 (3 u_{2}) - 2 \cdot - 2) {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 3 u_{2} (3 u_{2}) {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} + 3 u_{2} \cdot - 2 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 2 (3 u_{2}) {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.8

Bewege $u_{2}$ .

$\int 3 \cdot 3 u_{2} \cdot u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} + 3 u_{2} \cdot - 2 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 2 (3 u_{2}) {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.9

Bewege $u_{2}$ .

$\int 3 \cdot 3 u_{2} \cdot u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} + 3 \cdot - 2 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 2 (3 u_{2}) {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.10

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\int 9 u_{2} \cdot u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} + 3 \cdot - 2 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 2 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.11

Potenziere $u_{2}$ mit $1$ .

$\int 9 ({u_{2}}^{1} u_{2}) {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} + 3 \cdot - 2 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 2 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.12

Potenziere $u_{2}$ mit $1$ .

$\int 9 ({u_{2}}^{1} {u_{2}}^{1}) {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} + 3 \cdot - 2 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 2 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.13

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 9 {u_{2}}^{1 + 1} {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} + 3 \cdot - 2 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 2 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.14

Addiere $1$ und $1$ .

$\int 9 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} + 3 \cdot - 2 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 2 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.15

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 9 {u_{2}}^{2 - \frac{1}{2}} + 3 \cdot - 2 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 2 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.16

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\int 9 {u_{2}}^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 3 \cdot - 2 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 2 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.17

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} + 3 \cdot - 2 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 2 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.18

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} + 3 \cdot - 2 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 2 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.19

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.19.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{4 - 1}{2}} + 3 \cdot - 2 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 2 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.19.2

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 2 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.20

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - 6 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 2 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.21

Potenziere $u_{2}$ mit $1$ .

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - 6 ({u_{2}}^{1} {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}) - 2 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.22

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - 6 {u_{2}}^{1 - \frac{1}{2}} - 2 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.23

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - 6 {u_{2}}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 2 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.24

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - 6 {u_{2}}^{\frac{2 - 1}{2}} - 2 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.25

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - 6 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.26

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - 6 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} - 6 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.27

Potenziere $u_{2}$ mit $1$ .

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - 6 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} - 6 ({u_{2}}^{1} {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}) - 2 \cdot - 2 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.28

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - 6 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} - 6 {u_{2}}^{1 - \frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.29

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - 6 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} - 6 {u_{2}}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.30

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - 6 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} - 6 {u_{2}}^{\frac{2 - 1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.31

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - 6 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} - 6 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.32

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - 6 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} - 6 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + 4 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.33

Subtrahiere $6 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ von $- 6 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - 12 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + 4 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.34

Stelle $- 12 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ und $4 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ um.

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + 4 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 12 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 10

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} d u_{2} + \int 4 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2} + \int - 12 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 11

Da $9$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $9$ aus dem Integral.

$9 \int {u_{2}}^{\frac{3}{2}} d u_{2} + \int 4 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2} + \int - 12 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 12

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{2}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}}$ .

$9 (\frac{2}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C) + \int 4 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2} + \int - 12 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 13

Da $4$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$9 (\frac{2}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C) + 4 \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2} + \int - 12 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 14

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ nach $u_{2}$ gleich $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$9 (\frac{2}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C) + 4 (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C) + \int - 12 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 15

Da $- 12$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 12$ aus dem Integral.

$9 (\frac{2}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C) + 4 (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C) - 12 \int {u_{2}}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 16

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$9 (\frac{2}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C) + 4 (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C) - 12 (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 17

Vereinfache.

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Schritt 17.1

Vereinfache.

$\frac{18 {u_{2}}^{\frac{5}{2}}}{5} + 8 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} - 12 (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) + C$

Schritt 17.2

Vereinfache.

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Schritt 17.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{18 {u_{2}}^{\frac{5}{2}}}{5} + 8 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} - 12 \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Schritt 17.2.2

Kombiniere $- 12$ und $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{18 {u_{2}}^{\frac{5}{2}}}{5} + 8 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 12 (2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}})}{3} + C$

Schritt 17.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 12$ .

$\frac{18 {u_{2}}^{\frac{5}{2}}}{5} + 8 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 24 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Schritt 17.2.4

Faktorisiere $3$ aus $- 24 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$\frac{18 {u_{2}}^{\frac{5}{2}}}{5} + 8 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (- 8 {u_{2}}^{\frac{3}{2}})}{3} + C$

Schritt 17.2.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 17.2.5.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{18 {u_{2}}^{\frac{5}{2}}}{5} + 8 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (- 8 {u_{2}}^{\frac{3}{2}})}{3 (1)} + C$

Schritt 17.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{18 {u_{2}}^{\frac{5}{2}}}{5} + 8 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (- 8 {u_{2}}^{\frac{3}{2}})}{3 \cdot 1} + C$

Schritt 17.2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{18 {u_{2}}^{\frac{5}{2}}}{5} + 8 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 8 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{1} + C$

Schritt 17.2.5.4

Dividiere $- 8 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ durch $1$ .

$\frac{18 {u_{2}}^{\frac{5}{2}}}{5} + 8 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} - 8 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 18

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 18.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\frac{u_{1}}{3} + \frac{2}{3}$ .

$\frac{18 {(\frac{u_{1}}{3} + \frac{2}{3})}^{\frac{5}{2}}}{5} + 8 {(\frac{u_{1}}{3} + \frac{2}{3})}^{\frac{1}{2}} - 8 {(\frac{u_{1}}{3} + \frac{2}{3})}^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 18.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $3 x - 2$ .

$\frac{18 {(\frac{3 x - 2}{3} + \frac{2}{3})}^{\frac{5}{2}}}{5} + 8 {(\frac{3 x - 2}{3} + \frac{2}{3})}^{\frac{1}{2}} - 8 {(\frac{3 x - 2}{3} + \frac{2}{3})}^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 19

Stelle die Terme um.

$\frac{18}{5} {(\frac{1}{3} (3 x - 2) + \frac{2}{3})}^{\frac{5}{2}} + 8 {(\frac{1}{3} (3 x - 2) + \frac{2}{3})}^{\frac{1}{2}} - 8 {(\frac{1}{3} (3 x - 2) + \frac{2}{3})}^{\frac{3}{2}} + C$