Analysis Beispiele

$\sum_{i = 1}^{11} 3 i^{2} - 8$

Schritt 1

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{k = 1}^{11} 3 i^{2} - 8 = 3 \sum_{k = 1}^{11} i^{2} + \sum_{k = 1}^{11} - 8$

Schritt 2

Berechne $3 \sum_{k = 1}^{11} i^{2}$ .

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Schritt 2.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $2$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Schritt 2.2

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(3) (\frac{11 (11 + 1) (2 \cdot 11 + 1)}{6})$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.1.1

Addiere $11$ und $1$ .

$3 \frac{11 \cdot 12 (2 \cdot 11 + 1)}{6}$

Schritt 2.3.1.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.3.1.2.1

Mutltipliziere $11$ mit $12$ .

$3 \frac{132 (2 \cdot 11 + 1)}{6}$

Schritt 2.3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $11$ .

$3 \frac{132 (22 + 1)}{6}$

Schritt 2.3.1.3

Addiere $22$ und $1$ .

$3 \frac{132 \cdot 23}{6}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $132$ mit $23$ .

$3 (\frac{3036}{6})$

Schritt 2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$3 \frac{3036}{3 (2)}$

Schritt 2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{3036}{3 \cdot 2}$

Schritt 2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3036}{2}$

Schritt 2.3.2.3

Dividiere $3036$ durch $2$ .

$1518$

Schritt 3

Berechne $\sum_{k = 1}^{11} - 8$ .

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Schritt 3.1

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 3.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$(- 8) (11)$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $11$ .

$- 88$

Schritt 4

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$1518 - 88$

Schritt 5

Subtrahiere $88$ von $1518$ .

$1430$