Analysis Beispiele

$2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cot (x) \cdot \sin (x)$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cot (x) \cdot \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}] + \frac{d}{d x} [2 \cot (x) \cdot \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}] + \frac{d}{d x} [2 \cot (x) \cdot \sin (x)]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}]$ .

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Schritt 2.1

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\frac{d}{d x} [2 \tan (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cot (x) \cdot \sin (x)]$

Schritt 2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \tan (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cot (x) \cdot \sin (x)]$

Schritt 2.3

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$2 \sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [2 \cot (x) \cdot \sin (x)]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \cot (x) \cdot \sin (x)]$ .

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Schritt 3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \cot (x) \sin (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\cot (x) \sin (x)]$ .

$2 \sec^{2} (x) + 2 \frac{d}{d x} [\cot (x) \sin (x)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \cot (x)$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$2 \sec^{2} (x) + 2 (\cot (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Schritt 3.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$2 \sec^{2} (x) + 2 (\cot (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Schritt 3.4

Die Ableitung von $\cot (x)$ nach $x$ ist $- \csc^{2} (x)$ .

$2 \sec^{2} (x) + 2 (\cot (x) \cos (x) + \sin (x) (- \csc^{2} (x)))$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \sec^{2} (x) + 2 (\cot (x) \cos (x)) + 2 (\sin (x) (- \csc^{2} (x)))$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 \sec^{2} (x) + 2 \cot (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \csc^{2} (x)$

Schritt 4.3

Stelle die Terme um.

$2 \cos (x) \cot (x) - 2 \csc^{2} (x) \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

Schritt 4.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.1

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$2 \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 2 \csc^{2} (x) \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

Schritt 4.4.2

Multipliziere $2 \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Schritt 4.4.2.1

Kombiniere $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ und $2$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 2}{\sin (x)} \cos (x) - 2 \csc^{2} (x) \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

Schritt 4.4.2.2

Kombiniere $\frac{\cos (x) \cdot 2}{\sin (x)}$ und $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 2 \cos (x)}{\sin (x)} - 2 \csc^{2} (x) \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

Schritt 4.4.2.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{2 (\cos^{1} (x) \cos (x))}{\sin (x)} - 2 \csc^{2} (x) \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

Schritt 4.4.2.4

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\sin (x)} - 2 \csc^{2} (x) \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

Schritt 4.4.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} - 2 \csc^{2} (x) \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

Schritt 4.4.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - 2 \csc^{2} (x) \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

Schritt 4.4.3

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - 2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

Schritt 4.4.4

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\sin (x)}$ an.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - 2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

Schritt 4.4.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - 2 \frac{1}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

Schritt 4.4.6

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{- 2}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

Schritt 4.4.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 4.4.7.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin^{2} (x)$ heraus.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{- 2}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

Schritt 4.4.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{- 2}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

Schritt 4.4.7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{- 2}{\sin (x)} + 2 \sec^{2} (x)$

Schritt 4.4.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{2}{\sin (x)} + 2 \sec^{2} (x)$

Schritt 4.4.9

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{2}{\sin (x)} + 2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Schritt 4.4.10

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{2}{\sin (x)} + 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4.4.11

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{2}{\sin (x)} + 2 \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4.4.12

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{2}{\sin (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 \cos^{2} (x) - 2}{\sin (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4.6

Stelle $2 \cos^{2} (x)$ und $- 2$ um.

$\frac{- 2 + 2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4.7

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{- 2 (1) + 2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4.8

Faktorisiere $- 2$ aus $2 \cos^{2} (x)$ heraus.

$\frac{- 2 (1) - 2 (- \cos^{2} (x))}{\sin (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4.9

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (1) - 2 (- \cos^{2} (x))$ heraus.

$\frac{- 2 (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4.10

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{- 2 \sin^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\sin^{2} (x)$ und $\sin (x)$ .

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Schritt 4.11.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $- 2 \sin^{2} (x)$ heraus.

$\frac{\sin (x) (- 2 \sin (x))}{\sin (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.11.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{\sin (x) (- 2 \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (x) (- 2 \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2 \sin (x)}{1} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4.11.2.4

Dividiere $- 2 \sin (x)$ durch $1$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4.12

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.12.1

Multipliziere mit $1$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{2}{\cos^{2} (x) \cdot 1}$

Schritt 4.12.2

Separiere Brüche.

$- 2 \sin (x) + \frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4.12.3

Wandle von $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ nach $\sec^{2} (x)$ um.

$- 2 \sin (x) + \frac{2}{1} \sec^{2} (x)$

Schritt 4.12.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$