Analysis Beispiele

$\int_{0}^{π} \int_{0}^{2 π} \cos (θ) \sin (θ) \sin^{2} (x) (\sin (x) - \sin (θ)) d θ d x$

Schritt 1

Berechne $\int_{0}^{2 π} \cos (θ) \sin (θ) \sin^{2} (x) (\sin (x) - \sin (θ)) d θ$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Da $\sin^{2} (x)$ konstant bezüglich $θ$ ist, ziehe $\sin^{2} (x)$ aus dem Integral.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{2 π} \cos (θ) \sin (θ) (\sin (x) - \sin (θ)) d θ d x$

Schritt 1.2

Sei $u = \sin (θ)$ . Dann ist $d u = \cos (θ) d θ$ , folglich $\frac{1}{\cos (θ)} d u = d θ$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Es sei $u = \sin (θ)$ . Ermittle $\frac{d u}{d θ}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1

Differenziere $\sin (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Schritt 1.2.1.2

Die Ableitung von $\sin (θ)$ nach $θ$ ist $\cos (θ)$ .

$\cos (θ)$

Schritt 1.2.2

Setze die untere Grenze für $θ$ in $u = \sin (θ)$ ein.

$u_{lower} = \sin (0)$

Schritt 1.2.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 1.2.4

Setze die obere Grenze für $θ$ in $u = \sin (θ)$ ein.

$u_{upper} = \sin (2 π)$

Schritt 1.2.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$u_{upper} = \sin (0)$

Schritt 1.2.5.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$u_{upper} = 0$

Schritt 1.2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 0$

Schritt 1.2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u (\sin (x) - u) d u d x$

Schritt 1.3

Multipliziere $u (\sin (x) - u)$ aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) + u (- u) d u d x$

Schritt 1.3.2

Stelle $u$ und $- 1$ um.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - 1 \cdot u \cdot u d u d x$

Schritt 1.3.3

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - (u \cdot u) d u d x$

Schritt 1.3.4

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - (u^{1} u) d u d x$

Schritt 1.3.5

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - (u^{1} u^{1}) d u d x$

Schritt 1.3.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - u^{1 + 1} d u d x$

Schritt 1.3.7

Addiere $1$ und $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - u^{2} d u d x$

Schritt 1.3.8

Stelle $u \sin (x)$ und $- u^{2}$ um.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} - u^{2} + u \sin (x) d u d x$

Schritt 1.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (\int_{0}^{0} - u^{2} d u + \int_{0}^{0} u \sin (x) d u) d x$

Schritt 1.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- \int_{0}^{0} u^{2} d u + \int_{0}^{0} u \sin (x) d u) d x$

Schritt 1.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{0}) + \int_{0}^{0} u \sin (x) d u) d x$

Schritt 1.7

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $u^{3}$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{0}) + \int_{0}^{0} u \sin (x) d u) d x$

Schritt 1.8

Da $\sin (x)$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\sin (x)$ aus dem Integral.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{0}) + \sin (x) \int_{0}^{0} u d u) d x$

Schritt 1.9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{0}) + \sin (x) \frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{0}) d x$

Schritt 1.10

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $u^{2}$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{0}) + \sin (x) \frac{u^{2}}{2}]_{0}^{0}) d x$

Schritt 1.11

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.11.1

Berechne $\frac{u^{3}}{3}$ bei $0$ und $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) \frac{u^{2}}{2}]_{0}^{0}) d x$

Schritt 1.11.2

Berechne $\frac{u^{2}}{2}$ bei $0$ und $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{0^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Schritt 1.11.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.11.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{0}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Schritt 1.11.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.11.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{3 (0)}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Schritt 1.11.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.11.3.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Schritt 1.11.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Schritt 1.11.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{0}{1} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Schritt 1.11.3.2.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Schritt 1.11.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{0}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Schritt 1.11.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.11.3.4.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{3 (0)}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Schritt 1.11.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.11.3.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Schritt 1.11.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Schritt 1.11.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{0}{1}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Schritt 1.11.3.4.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - 0) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Schritt 1.11.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 + 0) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Schritt 1.11.3.6

Addiere $0$ und $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- 0 + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Schritt 1.11.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Schritt 1.11.3.8

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{0}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Schritt 1.11.3.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.11.3.9.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{2 (0)}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Schritt 1.11.3.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.11.3.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Schritt 1.11.3.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Schritt 1.11.3.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{0}{1} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Schritt 1.11.3.9.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Schritt 1.11.3.10

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{0}{2})) d x$

Schritt 1.11.3.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.11.3.11.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{2 (0)}{2})) d x$

Schritt 1.11.3.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.11.3.11.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})) d x$

Schritt 1.11.3.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})) d x$

Schritt 1.11.3.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{0}{1})) d x$

Schritt 1.11.3.11.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - 0)) d x$

Schritt 1.11.3.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 + 0)) d x$

Schritt 1.11.3.13

Addiere $0$ und $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) \cdot 0) d x$

Schritt 1.11.3.14

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + 0) d x$

Schritt 1.11.3.15

Addiere $0$ und $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \cdot 0 d x$

Schritt 1.11.3.16

Mutltipliziere $\sin^{2} (x)$ mit $0$ .

$\int_{0}^{π} 0 d x$

Schritt 2

Berechne $\int_{0}^{π} 0 d x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Das Integral von $0$ nach $x$ ist $0$ .

$0]_{0}^{π}$

Schritt 2.2

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Berechne $0$ bei $π$ und $0$ .

$(0) + 0$

Schritt 2.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$0$