Analysis Beispiele

$\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3} + 1}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3} + 1}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3} + 1}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3} + 1}} d x$

Schritt 4

Sei $u = x^{3} + 1$ . Dann ist $d u = 3 x^{2} d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = x^{3} + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $x^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Schritt 4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Schritt 4.1.5

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$3 x^{2}$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{u}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 3} d u$

Schritt 5.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 7

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 7.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 7.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 7.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 7.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 7.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Schreibe $\frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ als $\frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ um.

$\frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 9.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $2$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $x^{3} + 1$ .

$\frac{2}{3} {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3} + 1}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3} {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C$