Analysis Beispiele

$\frac{x}{e^{x}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{x}{e^{x}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x}{e^{x}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{x}{e^{x}} d x$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $e^{x}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$\int x {(e^{x})}^{- 1} d x$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{x})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x e^{x \cdot - 1} d x$

Schritt 4.2.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\int x e^{- 1 \cdot x} d x$

Schritt 4.2.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\int x e^{- x} d x$

Schritt 5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{- x}$ .

$x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x$

Schritt 7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $\int e^{- x} d x$ mit $1$ .

$x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x$

Schritt 8

Sei $u = - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Es sei $u = - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.1

Differenziere $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 8.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 8.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u$

Schritt 9

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u$

Schritt 10

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)$

Schritt 11

Schreibe $x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)$ als $- x e^{- x} - e^{u} + C$ um.

$- x e^{- x} - e^{u} + C$

Schritt 12

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$- x e^{- x} - e^{- x} + C$

Schritt 13

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{x}{e^{x}}$ .

$F (x) =$ $- x e^{- x} - e^{- x} + C$