Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} \arctan (2 x) d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \arctan (2 x)$ und $d v = 1$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \frac{2}{4 x^{2} + 1} d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{4 x^{2} + 1}$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x \cdot 2}{4 x^{2} + 1} d x$

Schritt 2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 x}{4 x^{2} + 1} d x$

Schritt 3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - (2 \int_{0}^{1} \frac{x}{4 x^{2} + 1} d x)$

Schritt 4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} \frac{x}{4 x^{2} + 1} d x$

Schritt 5

Sei $u = 4 x^{2} + 1$ . Dann ist $d u = 8 x d x$ , folglich $\frac{1}{8} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = 4 x^{2} + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $4 x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1]$

Schritt 5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 5.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Schritt 5.1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 5.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 5.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 5.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$8 x + 0$

Schritt 5.1.4.2

Addiere $8 x$ und $0$ .

$8 x$

Schritt 5.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 4 x^{2} + 1$ ein.

$u_{lower} = 4 \cdot 0^{2} + 1$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0 + 1$

Schritt 5.3.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Schritt 5.3.2

Addiere $0$ und $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 5.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 4 x^{2} + 1$ ein.

$u_{upper} = 4 \cdot 1^{2} + 1$

Schritt 5.5

Vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{upper} = 4 \cdot 1 + 1$

Schritt 5.5.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$u_{upper} = 4 + 1$

Schritt 5.5.2

Addiere $4$ und $1$ .

$u_{upper} = 5$

Schritt 5.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 5$

Schritt 5.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 \int_{1}^{5} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{8} d u$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{8}$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 \int_{1}^{5} \frac{1}{u \cdot 8} d u$

Schritt 6.2

Bringe $8$ auf die linke Seite von $u$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 \int_{1}^{5} \frac{1}{8 u} d u$

Schritt 7

Da $\frac{1}{8}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{8}$ aus dem Integral.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 (\frac{1}{8} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $- 2$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{- 2}{8} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $8$ .

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Schritt 8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{2 (- 1)}{8} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

Schritt 8.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

Schritt 8.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

Schritt 8.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{- 1}{4} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

Schritt 8.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \frac{1}{4} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

Schritt 9

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \frac{1}{4} \ln (| u |)]_{1}^{5}$

Schritt 10

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 10.1

Berechne $\arctan (2 x) x$ bei $1$ und $0$ .

$(\arctan (2 \cdot 1) \cdot 1) - \arctan (2 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{4} \ln (| u |)]_{1}^{5}$

Schritt 10.2

Berechne $\ln (| u |)$ bei $5$ und $1$ .

$(\arctan (2 \cdot 1) \cdot 1) - \arctan (2 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

Schritt 10.3

Vereinfache.

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Schritt 10.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\arctan (2) \cdot 1 - \arctan (2 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

Schritt 10.3.2

Mutltipliziere $\arctan (2)$ mit $1$ .

$\arctan (2) - \arctan (2 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

Schritt 10.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\arctan (2) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

Schritt 10.3.4

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\arctan (2) + 0 \arctan (0) - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

Schritt 10.3.5

Mutltipliziere $0$ mit $\arctan (0)$ .

$\arctan (2) + 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

Schritt 10.3.6

Addiere $\arctan (2)$ und $0$ .

$\arctan (2) - \frac{1}{4} (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\arctan (2) - \frac{1}{4} \ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})$

Schritt 11.2

Kombiniere $\ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})$ und $\frac{1}{4}$ .

$\arctan (2) - \frac{\ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})}{4}$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $5$ ist $5$ .

$\arctan (2) - \frac{\ln (\frac{5}{| 1 |})}{4}$

Schritt 12.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\arctan (2) - \frac{\ln (\frac{5}{1})}{4}$

Schritt 12.3

Dividiere $5$ durch $1$ .

$\arctan (2) - \frac{\ln (5)}{4}$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Berechne $\arctan (2)$ .

$1.10714871 - \frac{\ln (5)}{4}$

Schritt 13.2

Subtrahiere $\frac{\ln (5)}{4}$ von $1.10714871$ .

$0.70478923$