Analysis Beispiele

$\int_{\frac{π}{3}}^{\frac{2 π}{3}} \csc^{2} (\frac{1}{2} t) d t$

Schritt 1

Sei $u = \frac{1}{2} t$ . Dann ist $d u = \frac{1}{2} d t$ , folglich $2 d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = \frac{1}{2} t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\frac{1}{2} t$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Schritt 1.1.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2} t$ nach $t$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $t$ in $u = \frac{1}{2} t$ ein.

$u_{lower} = \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{3}$

Schritt 1.3

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{3}$ .

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{π}{3}$ .

$u_{lower} = \frac{π}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $t$ in $u = \frac{1}{2} t$ ein.

$u_{upper} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 π}{3}$

Schritt 1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$u_{upper} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (π)}{3}$

Schritt 1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 π}{3}$

Schritt 1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \csc^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{2}$ zu dividieren.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \csc^{2} (u) (1 \cdot 2) d u$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \csc^{2} (u) \cdot 2 d u$

Schritt 2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\csc^{2} (u)$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} 2 \csc^{2} (u) d u$

Schritt 3

Da $2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \csc^{2} (u) d u$

Schritt 4

Da die Ableitung von $- \cot (u)$ gleich $\csc^{2} (u)$ ist, ist das Integral von $\csc^{2} (u)$ gleich $- \cot (u)$ .

$2 (- \cot (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}})$

Schritt 5

Berechne $- \cot (u)$ bei $\frac{π}{3}$ und $\frac{π}{6}$ .

$2 (- \cot (\frac{π}{3}) + \cot (\frac{π}{6}))$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Der genau Wert von $\cot (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

$2 (- \frac{1}{\sqrt{3}} + \cot (\frac{π}{6}))$

Schritt 6.2

Der genau Wert von $\cot (\frac{π}{6})$ ist $\sqrt{3}$ .

$2 (- \frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{3})$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (- \frac{1}{\sqrt{3}}) + 2 \sqrt{3}$

Schritt 7.2

Multipliziere $2 (- \frac{1}{\sqrt{3}})$ .

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \frac{1}{\sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

Schritt 7.2.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{- 2}{\sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

Schritt 7.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{\sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}) + 2 \sqrt{3}$

Schritt 8.1.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

Schritt 8.1.2.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

Schritt 8.1.2.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} + 2 \sqrt{3}$

Schritt 8.1.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} + 2 \sqrt{3}$

Schritt 8.1.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} + 2 \sqrt{3}$

Schritt 8.1.2.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 8.1.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 2 \sqrt{3}$

Schritt 8.1.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 2 \sqrt{3}$

Schritt 8.1.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + 2 \sqrt{3}$

Schritt 8.1.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.1.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + 2 \sqrt{3}$

Schritt 8.1.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} + 2 \sqrt{3}$

Schritt 8.1.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2 \sqrt{3}$

Schritt 8.2

Um $2 \sqrt{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2 \sqrt{3} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 8.3

Kombiniere $2 \sqrt{3}$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Schritt 8.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Schritt 8.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 8.5.2

Addiere $- 2 \sqrt{3}$ und $6 \sqrt{3}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Dezimalform:

$2.30940107 \dots$