Analysis Beispiele

$\int \frac{- 3 x - 3}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 4}} d x$

Schritt 1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x - 3$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x$ heraus.

$\int \frac{3 (- x) - 3}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 4}} d x$

Schritt 1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\int \frac{3 (- x) + 3 (- 1)}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 4}} d x$

Schritt 1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (- x) + 3 (- 1)$ heraus.

$\int \frac{3 (- x - 1)}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 4}} d x$

Schritt 2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int \frac{- x - 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 4}} d x$

Schritt 3

Sei $u = x^{2} + 2 x - 4$ . Dann ist $d u = (2 x + 2) d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = (- x - 1) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = x^{2} + 2 x - 4$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $x^{2} + 2 x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 4]$

Schritt 3.1.2

Differenziere.

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Schritt 3.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 2 x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 3.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 3.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 3.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 3.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 3.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 3.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.1.4.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 2 + 0$

Schritt 3.1.4.2

Addiere $2 x + 2$ und $0$ .

$2 x + 2$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{u}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$3 \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Schritt 4.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{u}$ .

$3 \int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$3 (- \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

Schritt 6

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Schritt 7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

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Schritt 8.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 3$ .

$\frac{- 3}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 8.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 8.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 8.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{3}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 8.2.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \frac{3}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 8.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 8.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 8.2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$- \frac{3}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 8.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Schreibe $- \frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ als $- \frac{3}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ um.

$- \frac{3}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 10.2

Vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 (\frac{3}{2}) u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 10.2.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 10.2.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{- 6}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 10.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $2$ .

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Schritt 10.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 3}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 10.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 10.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 10.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 3}{1} u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 10.2.4.2.4

Dividiere $- 3$ durch $1$ .

$- 3 u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 11

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 2 x - 4$ .

$- 3 {(x^{2} + 2 x - 4)}^{\frac{1}{2}} + C$