Analysis Beispiele

$f (θ) = \sin (θ + \frac{π}{3})$ about $θ = 0$

Schritt 1

Betrachte die Funktion, die verwendet wird, um die Linearisierung bei $a$ zu bestimmen.

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Schritt 2

Setze den Wert von $a = 0$ in die Linearisierungsfunktion ein.

$L (x) = f (0) + f' (0) (x - 0)$

Schritt 3

Berechne $f (0)$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $θ$ durch $0$ .

$f (0) = \sin ((0) + \frac{π}{3})$

Schritt 3.2

Vereinfache $\sin ((0) + \frac{π}{3})$ .

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Schritt 3.2.1

Entferne die Klammern.

$\sin ((0) + \frac{π}{3})$

Schritt 3.2.2

Addiere $0$ und $\frac{π}{3}$ .

$\sin (\frac{π}{3})$

Schritt 3.2.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 4

Bestimme die Ableitung und berechne sie bei $0$ .

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Schritt 4.1

Ermittele die Ableitung von $f (θ) = \sin (θ + \frac{π}{3})$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ ist $f' (g (θ)) g' (θ)$ , mit $f (θ) = \sin (θ)$ und $g (θ) = θ + \frac{π}{3}$ .

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Schritt 4.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $θ + \frac{π}{3}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d θ} [θ + \frac{π}{3}]$

Schritt 4.1.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d θ} [θ + \frac{π}{3}]$

Schritt 4.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $θ + \frac{π}{3}$ .

$\cos (θ + \frac{π}{3}) \frac{d}{d θ} [θ + \frac{π}{3}]$

Schritt 4.1.2

Differenziere.

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Schritt 4.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $θ + \frac{π}{3}$ nach $θ$ $\frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [\frac{π}{3}]$ .

$\cos (θ + \frac{π}{3}) (\frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [\frac{π}{3}])$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ gleich $n θ^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (θ + \frac{π}{3}) (1 + \frac{d}{d θ} [\frac{π}{3}])$

Schritt 4.1.2.3

Da $\frac{π}{3}$ konstant bezüglich $θ$ ist, ist die Ableitung von $\frac{π}{3}$ bezüglich $θ$ gleich $0$ .

$\cos (θ + \frac{π}{3}) (1 + 0)$

Schritt 4.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\cos (θ + \frac{π}{3}) \cdot 1$

Schritt 4.1.2.4.2

Mutltipliziere $\cos (θ + \frac{π}{3})$ mit $1$ .

$\cos (θ + \frac{π}{3})$

Schritt 4.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $θ$ durch $0$ .

$\cos ((0) + \frac{π}{3})$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Addiere $0$ und $\frac{π}{3}$ .

$\cos (\frac{π}{3})$

Schritt 4.3.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 5

Setze die Komponenten in die Linearisierungsfunktion ein, um die Linearisierung bei $a$ zu ermitteln.

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} (x - 0)$

Schritt 6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $0$ von $x$ .

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} x$

Schritt 6.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{x}{2}$

Schritt 7