Analysis Beispiele

lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1}}

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Schritt 1

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von

x

$x$ im Nenner, was

x = \sqrt{x^{2}}

$x = \sqrt{x^{2}}$ ist.

lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von

x^{2}

$x^{2}$ und

x

$x$ .

lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von

x^{2}

$x^{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 2.2.2

Forme den Ausdruck um.

lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 3

x

$x$ gegen

\infty

$\infty$ geht, nähert sich der Bruch

\frac{1}{x^{2}}

$\frac{1}{x^{2}}$

0

$0$ an.

lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{1 + 0}}

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{1 + 0}}$

Schritt 4

Da sein Zähler ohne Grenze ist, während der Nenner gegen eine Konstante geht, geht der Bruch

\frac{x}{\sqrt{1 + 0}}

$\frac{x}{\sqrt{1 + 0}}$ gegen unendlich.

\infty

$\infty$