Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Schritt 1

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x = \sqrt{x^{2}}$ ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 3

Da $x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ an.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{1 + 0}}$

Schritt 4

Da sein Zähler ohne Grenze ist, während der Nenner gegen eine Konstante geht, geht der Bruch $\frac{x}{\sqrt{1 + 0}}$ gegen unendlich.

$\infty$