Analysis Beispiele

$f (x, y) = x + y + x y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (f (x, y)) = \frac{d}{d x} (x + y + x y)$

Schritt 2

Multipliziere $f$ mit jedem Element der Matrix.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)]$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y + x y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$1 + y' + \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Schritt 3.4.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$1 + y' + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.4.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$1 + y' + x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + y' + x y' + y \cdot 1$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$1 + y' + x y' + y$

Schritt 3.5

Stelle die Terme um.

$x y' + y + 1 + y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{d}{d x} ((f x, f y)) = x y' + y + 1 + y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $x y' + y + 1 + y' = \frac{d}{d x ((f x, f y))}$ um.

$x y' + y + 1 + y' = \frac{d}{d x ((f x, f y))}$

Schritt 5.2

Vereinfache $\frac{d}{d x ((f x, f y))}$ .

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $d$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x y' + y + 1 + y' = \frac{d}{d x (f x, f y)}$

Schritt 5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x y' + y + 1 + y' = \frac{1}{x ((f x, f y))}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.2.1

Multipliziere $x$ mit jedem Element der Matrix.

$x y' + y + 1 + y' = \frac{1}{(x (f x), x (f y))}$

Schritt 5.2.2.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.2.1

Bewege $x$ .

$x y' + y + 1 + y' = \frac{1}{(x \cdot x f, x (f y))}$

Schritt 5.2.2.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x y' + y + 1 + y' = \frac{1}{(x^{2} f, x (f y))}$

$x y' + y + 1 + y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)}$

Schritt 5.3

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' + 1 + y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' + y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$

Schritt 5.4

Faktorisiere $y'$ aus $x y' + y'$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $y'$ aus $x y'$ heraus.

$y' x + y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$

Schritt 5.4.2

Potenziere $y'$ mit $1$ .

$y' x + y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $y'$ aus ${y'}^{1}$ heraus.

$y' x + y' \cdot 1 = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$

Schritt 5.4.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' x + y' \cdot 1$ heraus.

$y' (x + 1) = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $y' (x + 1) = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$ durch $x + 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (x + 1) = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$ durch $x + 1$ .

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{\frac{1}{(x^{2} f, x f y)}}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{\frac{1}{(x^{2} f, x f y)}}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

Schritt 5.5.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{\frac{1}{(x^{2} f, x f y)}}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

Schritt 5.5.3.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{(x^{2} f, x f y)}$ mit $\frac{1}{x + 1}$ .

$y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y) (x + 1)} + \frac{- y}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

Schritt 5.5.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y) (x + 1)} - \frac{y}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

Schritt 5.5.3.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y) (x + 1)} - \frac{y}{x + 1} - \frac{1}{x + 1}$

Schritt 5.5.3.2

Kombiniere zu einem Bruch.

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Schritt 5.5.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y) (x + 1)} + \frac{- y - 1}{x + 1}$

Schritt 5.5.3.2.2

Stelle die Faktoren in $\frac{1}{(x^{2} f, x f y) (x + 1)} + \frac{- y - 1}{x + 1}$ um.

$y' = \frac{1}{(x + 1) (x^{2} f, x f y)} + \frac{- y - 1}{x + 1}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{(x + 1) (x^{2} f, x f y)} + \frac{- y - 1}{x + 1}$