Analysis Beispiele

$\frac{x \sqrt{x} + \sqrt{x}}{x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{x \sqrt{x} + \sqrt{x}}{x^{2}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x \sqrt{x} + \sqrt{x}}{x^{2}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{x \sqrt{x} + \sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Schritt 4

Faktorisiere $\sqrt{x}$ aus $x \sqrt{x} + \sqrt{x}$ heraus.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $\sqrt{x}$ aus $x \sqrt{x}$ heraus.

$\int \frac{\sqrt{x} x + \sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Schritt 4.2

Multipliziere mit $1$ .

$\int \frac{\sqrt{x} x + \sqrt{x} \cdot 1}{x^{2}} d x$

Schritt 4.3

Faktorisiere $\sqrt{x}$ aus $\sqrt{x} x + \sqrt{x} \cdot 1$ heraus.

$\int \frac{\sqrt{x} (x + 1)}{x^{2}} d x$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int \sqrt{x} (x + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{x} (x + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int \sqrt{x} (x + 1) x^{- 2} d x$

Schritt 5.2.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int x^{\frac{1}{2}} (x + 1) x^{- 2} d x$

Schritt 5.2.3

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.3.1

Bewege $x^{- 2}$ .

$\int x^{- 2} x^{\frac{1}{2}} (x + 1) d x$

Schritt 5.2.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{- 2 + \frac{1}{2}} (x + 1) d x$

Schritt 5.2.3.3

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{- 2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} (x + 1) d x$

Schritt 5.2.3.4

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} (x + 1) d x$

Schritt 5.2.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int x^{\frac{- 2 \cdot 2 + 1}{2}} (x + 1) d x$

Schritt 5.2.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.6.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\int x^{\frac{- 4 + 1}{2}} (x + 1) d x$

Schritt 5.2.3.6.2

Addiere $- 4$ und $1$ .

$\int x^{\frac{- 3}{2}} (x + 1) d x$

Schritt 5.2.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int x^{- \frac{3}{2}} (x + 1) d x$

Schritt 6

Multipliziere $x^{- \frac{3}{2}} (x + 1)$ aus.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x^{- \frac{3}{2}} x + x^{- \frac{3}{2}} \cdot 1 d x$

Schritt 6.2

Stelle $x^{- \frac{3}{2}}$ und $1$ um.

$\int x^{- \frac{3}{2}} x + 1 \cdot x^{- \frac{3}{2}} d x$

Schritt 6.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int x^{- \frac{3}{2}} x^{1} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

Schritt 6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{- \frac{3}{2} + 1} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

Schritt 6.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int x^{- \frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

Schritt 6.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int x^{\frac{- 3 + 2}{2}} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

Schritt 6.7

Addiere $- 3$ und $2$ .

$\int x^{\frac{- 1}{2}} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

Schritt 6.8

Mutltipliziere $x^{- \frac{3}{2}}$ mit $1$ .

$\int x^{\frac{- 1}{2}} + x^{- \frac{3}{2}} d x$

Schritt 7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int x^{- \frac{1}{2}} + x^{- \frac{3}{2}} d x$

Schritt 8

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Vereinfache.

$2 x^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 11.2

Vereinfache.

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Schritt 11.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 11.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 12

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{x \sqrt{x} + \sqrt{x}}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$