Analysis Beispiele

$\int x^{3} \ln ({(x)}^{2}) d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (x^{2})$ und $d v = x^{3}$ .

$\ln (x^{2}) (\frac{1}{4} x^{4}) - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{2}{x} d x$

Schritt 2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$\ln (x^{2}) \frac{x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{2}{x} d x$

Schritt 2.2

Kombiniere $\ln (x^{2})$ und $\frac{x^{4}}{4}$ .

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{2}{x} d x$

Schritt 3

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int x^{4} \frac{2}{x} d x)$

Schritt 4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Kombiniere $x^{4}$ und $\frac{2}{x}$ .

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x^{4} \cdot 2}{x} d x)$

Schritt 4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{4}$ .

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{2 \cdot x^{4}}{x} d x)$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{4}$ und $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{4}$ heraus.

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x (2 x^{3})}{x} d x)$

Schritt 4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x (2 x^{3})}{x^{1}} d x)$

Schritt 4.3.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x (2 x^{3})}{x \cdot 1} d x)$

Schritt 4.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x (2 x^{3})}{x \cdot 1} d x)$

Schritt 4.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{2 x^{3}}{1} d x)$

Schritt 4.3.2.5

Dividiere $2 x^{3}$ durch $1$ .

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int 2 x^{3} d x)$

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} \int 2 x^{3} d x$

Schritt 5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} (2 \int x^{3} d x)$

Schritt 6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - 2 (\frac{1}{4}) \int x^{3} d x$

Schritt 6.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} + \frac{- 2}{4} \int x^{3} d x$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} + \frac{2 (- 1)}{4} \int x^{3} d x$

Schritt 6.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} \int x^{3} d x$

Schritt 6.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} \int x^{3} d x$

Schritt 6.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} + \frac{- 1}{2} \int x^{3} d x$

Schritt 6.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - \frac{1}{2} \int x^{3} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Schreibe $\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ als $\frac{\ln (x) x^{4}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4}) + C$ um.

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

Schritt 8.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{4}}{4} + C$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $\frac{x^{4}}{4}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} - \frac{x^{4}}{4 \cdot 2} + C$

Schritt 8.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} - \frac{x^{4}}{8} + C$

Schritt 8.3

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{8} x^{4} + C$